15.4 课时4 直角三角形中30°角的性质定理 课件（25页） 2025-2026学年沪科版（2024）初中数学八年级上册

(课件网) 15.3 等腰三角形 课时4 直角三角形中30°角的 性质定理 1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点） 问题1 如图，将两个含 30° 角的三角尺摆放在 一起，你能借助这个图 形，找到 Rt△ABC 的直 角边 BC 与斜边 AB 之间 的数量关系吗？(提示：请点击拼接和分离) 分离 拼接 A B C D A' C' 问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ A B C D 如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形， 因此 AB = AD，∠BAD = 2×30° = 60°， 从而△ABD 是一个等边三角形. 再由 AC⊥BD， 可得 BC = CD = BD = AB. 一、含 30°角的直角三角形的性质 你还能用其他方法证明吗？ 证明：在△ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，∴∠B = 60°． 延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接AD， 则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD， A B C D 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：BC = AB． 证明方法：倍长法 证法1 ∴ BC = BD= AB．　　 E A B C 证明2： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵ ∠B = 60°，BE = BC. ∴ △BCE 是等边三角形. ∴ ∠BEC = 60°，BE = EC. ∵ ∠A = 30°， ∴ ∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30° = 30°. ∴ AE = EC. ∴ AE = BE = BC， ∴ AB = AE + BE = 2BC. ∴BC = AB．　　 证明方法：截半法 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： ∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　 A B C ∴ BC = AB．　　 判断下列说法是否正确： 1）直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2）三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半. 3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半. 4）直角三角形的斜边是 30° 角所对直角边的 2 倍． √ 解析：在 Rt△ABC 中，∵ CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm. 在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm. 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是 (　　) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 注意：运用含 30° 角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D 方法总结：当题图中含 30° 角，与角平分线、垂直平分线的性质综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造出含 30° 角的直角三角形． 例2 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB，DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与 DB 有怎样的数量关系？请说明理由． 解： 理由如下：∵ DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵ DE 是∠ADB 的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝30°， ∴ AD＝BD，∠DAE＝∠B. ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B. ∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°. ∴ CD＝ AD＝ BD，即 CD＝ DB. ∵ AD 是∠BAC 的平分线， 又∵ DE＝DE， ∴△AED≌△BED (ASA). 方法总结：含 30° 角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，可联想到此性质． 想一想：图中 BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 例3 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30° ，立柱 BC、DE 要多长？ A B C D E A B C D E 解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°， ∴ BC = AB，DE = AD. ∴ BC = AB = ×7.4 = 3.7 m . 又 AD = AB = 3.7 m， ∴ DE = AD = ×3.7 = 1.85 m. 答：立柱 BC 的长是 ... ...