1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 教学设计

用空间向量研究直线、平面的位置关系 教学目标： 1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量. 2.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系. 3.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.教学重难点 教学重点：理解直线的方向向量和平面的法向量，并会用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系. 教学难点：向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理. 教学过程： 新知积累 1.空间点、直线和平面的向量表示 1.空间中点的向量表示：如图1，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示. 向量称为点P的位置向量. 图1 图2 2.空间中直线的向量表示：如上图2，a是直线l的方向向量，在直线l上取，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，即. 空间直线的向量表示式：如图3，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ①，将代人①式，得 ②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 图3 图4 3.空间中平面的向量表示：平面可以由内两条相交直线确定. 如上图4，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知存在唯一的有序实数对，使得 空间平面的向量表示式：如下图5，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使 ③. 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 图5 图6 4.平面的法向量：如上图6，直线. 取直线l的方向向量a，称向量a为平面的法向量. 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 例题巩固 例1 如图，在长方体中，，，M是AB的中点，以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 求平面的法向量； （2）求平面的法向量. 解：（1）因为y轴垂直于平面， 所以是平面的一个法向量. （2）因为，，，M是AB的中点， 所以M，C，的坐标分别为，，. 因此，. 设是平面的法向量，则，. 所以， 所以，取，则，. 于是是平面的一个法向量. 空间中直线、平面的平行 如图7，设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得. 图7 图8 如上图8，设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则. 如图，设，分别是平面，的法向量，则，使得. 例题巩固 例2 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，，，，，.求证：. 证明：如图，取平面的法向量n，直线a，b的方向向量u，v. 因为，，所以，. 因为，，， 所以对任意点，存在，，使得. 从而. 所以，向量n也是平面的法向量. 故. 3.空间中直线、平面的垂直 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直. 如图，设直线，的方向向量分别为，，则. 图9 图10 如上图10，设直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得. 如图11，设平面，的法向量分别为，，则. 图11 图12 例3 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：如上图12，，，求证：. 证明：取直线l的方向向量u，平面的法向量n. 因为，所以u是平面的法向量. 因为，而n是平面的法向量，所以. 所以. ... ...