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课件网) 第3讲 平面向量的数量积及其应用 聚焦·必备知识 突破·核心考点 限时规范训练 1 2 3 内容索引 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他的实际问题． ◆课标要求 聚焦 必备知识 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：夹角θ的取值范围是_____．当θ＝0时，两向量a，b_____；当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作_____；当θ＝π时，两向量a，b_____． [0，π] 共线且同向 a⊥b 共线且反向 2．平面向量数量积的定义与运算律 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量_____叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_____． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. |a||b|·cos θ (2)投影向量如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝_____． (3)向量数量积的运算律 ①交换律：a·b＝b·a. ②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). ③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，还有可能a⊥b. 3．平面向量数量积的性质及坐标表示 向量的有关概念 几何表示 坐标表示 数量积 |a||b|cos θ x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝_____ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 _____ _____ |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 1．两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且a，b不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.( ) (2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.( ) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( ) (4)若a·b＝a·c，则b＝c.( ) × × √ × 2．设a＝(－1，3)，b＝(2，1)，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝_____． 解析：cos θ＝. 答案： 3．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k＝_____． 解析：由题意得(a＋kb)·(a－kb) ＝a2－k2b2＝9－16k2＝0，解得k＝±. 答案：± 4．已知△ABC三个顶点为A(－1，－4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC的形状为_____． 解析：由条件得＝(6，6)，＝(－2，2)， ∵＝0，即AB⊥BC， ∴△ABC是直角三角形． 答案：直角三角形 例1 (1)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则(e1＋2e2)·(3e1－4e2)等于( ) A．－6 B．－4 C．－2 D．－1 B 解析：B 若单位向量e1，e2的夹角为60°，则|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝|e1||e2|·cos 60°＝， (e1＋2e2)·(3e1－4e2)＝＝3＋1－8＝－4.故选B. 突破 核心考点 平面向量的数量积运算 (2)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则等于( ) A． B．3 C．2 D．5 B 解析：B 法一：由题意知，， 所以＝· ＝2， 由题意知＝＝2， 所以＝4－1＝3. 法二：以点A为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)， 则E ... ...
