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课件网) 第3讲 导数与函数的极值、最值 聚焦·必备知识 突破·核心考点 限时规范训练 1 2 3 内容索引 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题． ◆课标要求 聚焦 必备知识 1．导数与函数的极值 条件 设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0 在点x＝x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0 在点x＝x0附近的左侧_____，右侧_____ f′(x)＜0 f′(x)＞0 图象 极值 f(x0)为_____ f(x0)为_____ 极值点 x0为_____ x0为极小值点 极大值 极小值 极大值点 (1)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (2)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．导数与函数的最值 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_____的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的_____． ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 连续不断 极值 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值． 1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大．( ) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( ) (3)函数的极大值一定是函数的最大值．( ) (4)开区间上的单调连续函数无最值．( ) √ × × √ 2．函数f(x)＝的极大值为( ) A．－e B． C．1 D．0 解析：B f′(x)＝，由f′(x)>0得0
e，故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故f(x)的极大值为f(e)＝. B 3．已知f(x)＝x3－12x＋1，x∈，则f(x)的最大值为_____，最小值为_____． 解析：f′(x)＝3x2－12＝3(x2－4)， 因为x∈，所以f′(x)<0，则f(x)在上单调递减，故f(x)的最大值为＝，最小值为f(1)＝－10. 答案： －10 4．函数f(x)＝x3－ax2＋2x有极值，则实数a的取值范围是_____． 解析：f′(x)＝3x2－2ax＋2，由于f(x)有极值，故f′(x)＝0有两个不相等的实数根，故Δ＝4a2－24>0，解得a>或a<－. 答案：∪ 考向1 根据函数图象求极值 例1 (多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则( ) A．f(x)在x＝－3处取得极小值f(－3) B．－1是函数y＝f(x)的极小值点 C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D．－2是函数y＝f(x)的极大值点 AC 突破 核心考点 利用导数研究函数的极值 解析：AC 由题中导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＜0，当x∈(－3，－1)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增． 则f(x)在x＝－3处取得极小值f(－3)，A正确． 因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误． 反思感悟 利用函数图象求函数极值的方法 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能的极值点． (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可求得极值点． 考向2 求已知函数的极值 例2 已知函数f(x)＝ln x－ax ... ... 