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课件网) 第4讲 简单的三角恒等变换 突破·核心考点 限时规范训练 1 2 内容索引 1．会根据相关公式进行化简和求值.2.能利用三角函数式的化简与求值解决简单的问题． ◆课标要求 例1 化简：－tan )·＝_____． 突破 核心考点 三角函数式的化简 答案： 解析：－tan )·＝· ＝＝＝. 反思感悟 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察已知条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 跟踪训练1 已知0＜θ＜π，则 ＝_____． 解析：原式＝ ＝ ＝＝－cos θ. 答案：－cos θ 三角函数式的求值 考向1 给角求值 例2 (2025·湖北武汉联考) 已知黄金分割比t＝≈0.618，现给出三倍角公式cos 3α＝4cos3α－3cosα和二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α，则t与sin 18°的关系式正确的是 ( ) A．t＝sin 18° B．t＝2sin 18° C．t＝sin 18° D．t＝4sin 18° B 解析：B 因为cos 54°＝sin 36°，即cos (3×18°)＝sin (2×18°)，令β＝18°， 则cos 3β＝sin 2β，又cos 3β＝4cos3β－3cosβ， sin 2β＝2sin βcos β， 即4cos3β－3cosβ＝2sin βcos β， 因为cos β≠0，所以4cos2β－3＝2sinβ， 即4(1－sin2β)－3＝2sinβ，整理得 4sin2β＋2sinβ－1＝0， 解得sin β＝. 因为sin 18°＞0，所以sin 18°＝， 故t＝2sin 18°＝. 考向2 给值求值 例3 (2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝_____． 解析：由题知tan (α＋β)＝，即sin (α＋β)＝－2cos (α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan (α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角， 故sin (α＋β)＝－. 答案：－ 考向3 给值求角 例4 (2025·江西九江模拟)已知α，β∈，cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β等于( ) A． B． C． D． A 解析：A 因为cos (α－β)＝， tan α·tan β＝， 所以 解得 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 反思感悟 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． (2)给值求角问题的解题策略 ①求相关角的某一个三角函数值； ②由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的取值范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解． 跟踪训练2 (1)(多选)(2025·湖南岳阳调研)计算下列各式，结果为的是 ( ) A．sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215° C． D． BC 解析：BC 对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故选项A错误； 对于B，cos215°－sin215°＝cos30°＝，故选项B正确； 对于C，，故选项C正确； 对于D，＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝，故选项D错误． (2)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝_____，2α－β＝_____． 解析：因为cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 又α，β均为锐角，sinβ＝， 所以sin α＝，cos β＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝. 因为α为锐角，所以0＜2α＜π. 又cos 2α＞0，所以0＜2α＜， 又β为锐角，所以－＜2α－β＜， 又sin (2α－β)＝，所以2α－β＝. 答案： 三角恒等变换的综合应用 例5 已知3si ... ...
