3.3 抛物线(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 3.3抛物线 一．选择题（共6小题） 1．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径AB＝4，镜深OH＝3．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点O的距离应为（　　） A．2 B．3 C． D． 2．曲线与直线的公共点的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过C上一点M（2，m）作l的垂线，垂足为N，若∠NMF的平分线经过l与x轴的交点，则p＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．焦点为（0，2）的抛物线标准方程是（　　） A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝4x D．y2＝8x 5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点M（x0，2）在C上，且|MF|＝2|OF|，则p＝（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 6．画法几何学的创始人———法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆是x2+y2＝a2+b2，若圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为（　　） A．或 B．7或47 C． D．47 二．多选题（共3小题） （多选）7．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．设F1（﹣c，0）和F2（c，0）且c＞0，动点M满足，动点M的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C，则下列描述正确的是（　　） A．曲线C的方程是 B．曲线C关于坐标轴对称 C．曲线C与x轴没有交点 D．△MF1F2的面积不大于 （多选）8．已知抛物线y2＝4x上两点A（x1，y1），B（x2，y2），F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（　　） A．抛物线的准线方程为x＝﹣1 B．若直线AB过F，且AB⊥x轴，则|AB|＝4 C．若直线AB过F，则y1y2＝﹣1 D．若|AB|＝6，则AB的中点到y轴距离的最小值为2 （多选）9．已知曲线C：x2+y2＝|x|+|y|，则（　　） A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 C．曲线C所围成的图形的面积为 D．当点（x0，y0）在曲线C上时，x0+y0≤2 三．填空题（共4小题） 10．如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由抛物线C：x2＝2py（p＞0）绕坐标原点旋转，π，后所得三条曲线与C共同围成的区域（阴影部分），A、B分别为C与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若|AB|＝8，阴影部分的面积为S，给出以下结论：①p＝1；②△AOB的面积为16；③S＜32；④直线y＝x+b被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为1.5．其中正确结论的序号为　 　 ． 11．已知点M（1，4）不在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的焦点为F．若对于抛物线上的一点P，|PM|+|PF|的最小值为4，则p的值等于　 　 ． 12．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝9的圆心C与抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为A，则原点到直线AC的距离为 　 　 ． 13．已知抛物线x2＝6y的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，PQ⊥l于点Q．若△PQF是锐角三角形，则|PF|的取值范围是 　 　 ． 四．解答题（共2小题） 14．已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线Γ：y2＝2px的焦点为F（1，0），A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线AB斜率为1，且过点F，求线段AB的长度； （3）直线l与抛物线Γ交于不同于O的A、B两点，若以AB为直径的圆经过点O，且OG⊥AB于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值． 15．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到直线y＝x﹣1的距离为，不过原点的直线l与C交于A，B两点． （1 ... ...