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课件网) 直线与平面垂直的判定 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？ 实例引入 旗杆与底面垂直 桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象. 思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系. A B α 1.旗杆所在的直线始终与 影子所在的直线垂直. 请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所 示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）. A B C D 思考3 (1)折痕AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？ 当折痕AD⊥BC时,折痕AD与桌面所在平面垂直. B D C A BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD, 直线AD所在的直线与桌面垂直 m n P 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 ． 平面 的垂线 直线 l 的垂面 垂足 定义 直线与平面垂直 对定义的认识 ①“任何”表示所有. ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. ③ 等价于对任意的直线 ，都有 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质. 问题 直线与平面垂直 除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？ 判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 作用： 判定直线与平面垂直． 直线与平面垂直判定定理 简记为：线线垂直 线面垂直 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少 V A B C . D 练习： 提示：找AC中点D,连接VD,BD 如图，在三棱锥V-ABC,VA=VC,AB=BC求证: VB⊥AC. 外 线面垂直判定定理的应用 例 1：已知：如图 ，空间四边形 ABCD 中， DB＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE， 求证：BC⊥平面 AED. 证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点， ∴AE⊥BC，DE⊥BC. 又∵AE 与DE 交于E，∴BC⊥平面AED. 由判定定理可知要证明直 线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两 条相交直线垂直即可． 例2:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC ,PB =PD . 求证：PO⊥平面ABCD C A B D O P = ABCD PO O BD AC 平面 又 ^ \ I Q BD PO BD O PD PB 的中点 是 点 又 ^ \ = Q , AC PO AC O PC PA 的中点 是 点 证明 ^ \ = Q , P A B C O 3.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC 证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面， BC ⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC， ∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC， 又 PA ∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC， 又 AE 平面 PAC，∴BC⊥AE， ∵AE⊥PC, PC∩BC＝C， ∴AE⊥平面 PBC. 例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面， AB 为⊙O 直径，C 是圆周上任一点， 过 A 作 AE⊥PC 于 E，求证：AE⊥平面 PBC. o P A α 一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足(A)，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段． 平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条 斜线与斜线段 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影 斜线在平面内的射影 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角). 简称线面角 斜线和平面所成的角 斜线和平面所成的角 1、直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所成的角是0° 2、直线与平面所成的角θ ... ...
