5.2 实际问题中的函数模型（同步练习.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 5.2实际问题中的函数模型 一．选择题（共6小题） 1．“空气质量指数AQI”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当AQI大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（　　） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 2．某试验稻田中，有害昆虫的数量y（单位：千只）与时间x（单位：月）的关系为y＝a ex（e为自然对数的底，e＝2.71828…），其中系数a（a＞0）可以通过喷洒农药等措施控制．试验员制定了实时监控比值M，当比值M不超过e4时，稻田产量不受影响；当M超过e4时，稻田产量会受影响．预计稻田在x＝3时收割，为确保稻田产量不受有害昆虫影响，则实数a最大值为（　　） A．e3 B．3e2 C． D．7e 3．为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过400m3的部分 2.50元/m3 超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3 超过600m3的部分 4.50元/m3 若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（　　） A．610m3 B．600m3 C．544m3 D．500m3 4．生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数 min﹣1）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次 min﹣1，B的脉搏率是70次 min﹣1，则B的体重为（　　） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 5．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365．可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍．如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%，至少经过_____天后，“进步”是“落后”的1000倍．（lg3≈0.477，lg11≈1.041）（　　） A．31 B．33 C．35 D．37 6．科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数 min﹣1）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次 min﹣1，B的脉搏率是70次 min﹣1，则B的体重为（　　） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 二．多选题（共3小题） （多选）7．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用．函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x）．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数R（x）＝3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）＝500x+4000（单位，元），利润是收入与成本之差，设利润函数为P（x），则以下说法正确的是（　　） A．P（x）取得最大值时每月产量为63台 B．边际利润函数的表达式为MP（x）＝2480﹣40x（x∈N*） C．利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值 D．边际利润函数MP（x）说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 （多选）8．设f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝3 3x，h（x）＝log2（x+1），当x∈（3，+∞）时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（　　） A．f（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢 B．g（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢 C．g（x）的增长速度最快，f（x）的增长速度最慢 D．f（x）的增长速度最快，g（x）的增长速度最慢 （多选）9．若物体原来的温度为θ0（单位：℃），环境温度为θ1（单位：℃），物体的温度冷却到θ（θ＞θ1，单位：℃）与需用时间t（单位：分钟）满足为正常数．现有一杯开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根 ... ...