第14章《全等三角形》复习题--全等三角形的辅助线与模型 题型一：一线三等角模型 1.（1）如图1，在 ABC中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在 ABC中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标_____． 2.阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角 ABC中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角 ABC中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ABC为等腰直角三角形； ①如图3，当时，求点C的坐标； ②直接写出其他符合条件的C点的坐标． 3.阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角 ABC中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角 ABC中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，在平面平面直角坐标系中是否存在一点B，使得 ABC为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标；若不存在，请说明理由． 题型二：手拉手模型 1.数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1， ABC和 ADE中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2， ABC中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 2.【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知 ABC和 ADE都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知 ABC和 ADE都是等边三角形，将 ADE绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为_____； 【类比探究】 （3）如图3，已知 ABC和 ADE都是等边三角形． ①当点在线段上时，过点作于点．求证： ②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____． 3.【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1， ABC与 ADE都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ． 【深入研究】（2）如图2， ABC与 ADE都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 题型三：半角模型 1.【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程． (2)如图 ... ...
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