15.1.2 线段的垂直平分线 教案 共2课时 初中数学人教版（2024）八年级上册

15.1.2　线段的垂直平分线（第1课时） 1．类比角的平分线研究线段的垂直平分线，理解线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，体会类比思想在充分利用已有经验探索新知中的重要作用． 2．能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的数学问题． 3．了解互逆命题和互逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，感受几何中互逆定理从正反两个方面揭示图形的性质的特点． 1．线段垂直平分线的性质定理及其逆定理． 2．合情推理、演绎推理等多种推理论证方法的有机结合． 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理． 新课导入 【问题】在学习任务单上画出线段AB及其中点P，再过点P画出AB的垂线l，沿直线l将纸对折，线段PA和PB有什么关系？ 【师生活动】学生发现：线段PA和PB完全重合． 【分析】如图，经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线．直线l是线段AB的垂直平分线，即是线段AB的对称轴． 【设计意图】通过回顾已学习的线段的垂直平分线知识，为引出本节课的新知作铺垫． 新知探究 【导入语】在上节课的学习中，我们了解到无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是任意一对对称点所连线段的垂直平分线．线段的垂直平分线在今后的几何图形的学习中有着重要作用，接下来，我们就一起来探讨线段的垂直平分线的相关性质．请你类比前面研究角的平分线的方法，想一想，可以怎样研究线段的垂直平分线？ 【师生活动】教师可以引导学生从以下方面进行思考：角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，线段的长度和位置是由它的两个端点决定的，类似地，我们可以研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系． 【问题1】如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，······在l上，分别比较点P1，P2，P3，······与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 【师生活动】学生按照要求动手操作，思考并归纳出发现的规律，完成学习任务单上的相关任务． 【答案】点P1，P2，P3，···与点A的距离和这些点与点B的距离分别相等． 【思考】如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B，······有什么关系？ 【师生活动】学生动手操作，教师借助视频进行直观演示，帮助学生发现线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B，······都是重合的，因此它们分别相等．师生共同猜想线段的垂直平分线具有以下性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．教师指导学生在学习任务单上写出已知、求证，完成相应的证明过程． 【答案】已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，点P在l上．求证：PA＝PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA＝∠PCB． 又 AC＝BC，PC＝PC， ∴ △PCA≌△PCB（SAS）． ∴ PA＝PB． 当点P与点C重合时，显然成立． 【新知】线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 【设计意图】类比研究角的平分线的方法，探索研究线段的垂直平分线的性质．将实验几何与论证几何有机结合，让学生先通过测量、折叠等活动，猜想出几何结论，在此基础上，经过严谨的逻辑推理证明结论，得出相关性质，发展学生的空间观念和推理能力． 课堂练习 如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．AB，AC，CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？ 【师生活动】教师提示学生：由线段的垂直平分线的性质能得到线段相等，在解决问题的过程中可以将所求的数量关系进行转化．学生独立完成学习任务单上的相关练习，教师进行讲评． 【答案】解：AB＝AC＝CE，AB＋BD＝DE． ∵ AD⊥BC，BD＝DC， ∴ AD是BC的垂直平分线． ∴ AB＝AC． 又 点C在线段AE的垂直平分线上， ∴ ... ...