5.2二次函数的图象和性质 培优练习（含解析）2025-2026学年苏科版数学九年级下册

5.2 二次函数的图象和性质 知识梳理 一、核心定义与表达式 定义：形如（，、、为常数）的函数叫二次函数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 三种常见表达式： 一般式：（）； 顶点式：（），其中是顶点坐标； 交点式：（），、是抛物线与轴交点的横坐标。 二、核心图象与性质 （一）图象特征 二次函数的图象是抛物线，其形状由决定，越大，抛物线开口越窄；越小，开口越宽。 （二）关键性质（围绕展开） 开口方向：时开口向上，时开口向下； 对称轴：直线（顶点式中直接为）； 顶点坐标：一般式推导为，顶点式中为； 最值：时，顶点为最低点，最小；时，顶点为最高点，最大； 增减性： 开口向上：对称轴左侧（）随增大而减小，右侧（）随增大而增大； 开口向下：对称轴左侧（）随增大而增大，右侧（）随增大而减小。 三、核心技能 表达式转化：用配方法将一般式化为顶点式（如化为）； 图象平移：遵循“上加下减、左加右减”，针对顶点式操作更简便（向上平移个单位加，向右平移个单位将改为）； 性质应用：根据、、的符号判断抛物线位置（如时，抛物线与轴交于正半轴）； 最值求解：结合自变量取值范围，若对称轴在范围内，最值为顶点纵坐标；若不在，最值在区间端点处。 四、常见题型与方法 图象判断：根据、、的符号判断抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点，匹配对应图象； 函数值比较：根据抛物线对称性，将不同点转化到对称轴同侧，再利用增减性比较； 解析式求解：利用待定系数法，结合顶点、图象上的点等条件，选择合适表达式代入求解； 范围与最值问题：给定自变量取值范围，求函数值范围；或根据最值求参数（如已知最小值为求的值）； 综合应用：结合新定义（如“友好抛物线”）、直线与抛物线的距离等，整合性质与方程求解。 五、易错点 配方法转化表达式时，漏乘二次项系数或常数项计算错误； 平移规律混淆“左加右减”的对象，误对常数项进行加减（应针对自变量）； 忽略自变量取值范围，直接用顶点纵坐标作为最值（需判断对称轴是否在范围内）； 判断的符号时，忘记结合的符号（由对称轴推导）； 解决综合题时，未结合抛物线对称性，导致漏解或计算复杂。 同步训练 一、单选题 1．若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象上有，，三点，则的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 4．对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是 B．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是 C．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是 D．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是 5．用配方法将二次函数化为的形式为（ ） A． B． C． D． 6．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．将函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的二次函数解析式 ． 8．二次函数的图像如图所示，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（填写序号即可） 9．已知二次函数的图象，当时，有最小值为 ． 10．定义两个不相交的函数图象上两个动点之间的最短距离为这两个函数的“和谐值”，抛物线与直线的“和谐值”为 ． 三、解答题 11．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围． 12．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _____； _____； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 13．新定义：我们把抛物线与称为“友好 ... ...