17.2.1 配方法 课件(共25张PPT)2025-2026学年沪科版数学八年级下册

(课件网) 17.2 一元二次方程的解法 第17章 一元二次方程 17.2.1 配方法 学习目标 1. 理解直接开平方法和配方法，会利用这两种方法熟练地解二次项系数为 1 的一元二次方程； (重点) 2. 会利用配方法灵活地解决二次项系数不为 1 的一元二次方程； 3. 通过不同方程的转化，获得解决问题的经验，体会数学中的转化思想. (难点) 1. 如果 x2 = a，那么 x 叫作 a 的 . 平方根 2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = . 3. 如果 x2 = 64，那么 x = . ±8 4. 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 问题：一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程 10×6x2 = 1500, 即 x2 = 25． 开平方得 x = ±5， 即 x1 = 5，x2 = －5． ∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm． 直接开平方法 1 试一试： 解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法. (1) x2 = 4； (2) x2 = 0； (3) x2 + 1 = 0. 解：(1) 根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2. (3) 移项，得 x2 = -1．∵ 负数没有平方根， ∴ 原方程无解. (2) 根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0. (2) 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，因为任何实数 x，都有 x2≥0， 所以方程无实数根. 一般地，对于可化为 x2 = p 的方程， (1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 知识要点 例1 用直接开平方法解下列方程： (1) 3x = 12； (2) (x + 3) = 5. 解： (1) 两边同除以 3 ，得 x = 4. 开平方，得 x = ±2. 所以原方程的根是 x = 2，x = -2. 典例精析 在解方程 x2 = 25 时，由直接开平方法得 x = ±5. 由此想到，由 (x + 3)2 = 5， ① 得 对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5？ 于是，方程 (x + 3)2 = 5 的两个根为 思考延伸 例2 解下列方程： (1) 解得 x1 = 3，x2 = -1. 解：移项，得 ∵ x - 1 是 4 的平方根， ∴ x - 1 = ±2. 解得 x1 = ， x2 = . (2) 解： 移项，得 两边都除以 12，得 ∵ 3 - 2x 是 0.25 的平方根， ∴ 3 - 2x = ±0.5, 即 3 - 2x = 0.5 或 3 - 2x = -0.5. 1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x2 = p 或 (x＋n)2 = p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 探究交流 问题1 你还记得完全平方公式吗？填一填： (1) a2 + 2ab + b2 = ( )2; (2) a2 - 2ab + b2 = ( )2. a + b a - b 配方法 问题2 填上适当的数或式，使下列各等式成立. (1) x2 + 4x + = ( x + )2 (2) x2 - 6x + = ( x - )2 22 2 32 3 (3) x2 + 8x + = ( x + )2 (4) x2 - x + = ( x - )2 你发现了什么规律？ 42 4 2 二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方. 配方的方法 想一想：x2 + px + ( )2 = (x + )2. 归纳总结 解方程：x2 + 2x - 1 = 0. (1) 问题1 方程 (1) 怎样变成 (x + n)2 = p 的形式呢？ x2 + 2x - 1 = 0 x2 + 2x = 1 移项 x2 + 2x + 1 = 1 + 1 两边都加上 1 二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方 探究交流 问题2 为什么在方程 x2 + 2x = 1 的两边加上 1？加其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式。 要点归纳 像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。 把一元二次方程化为 ... ...