周测卷（十三） [导数(2)] 一、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或者不选得0分． 1．已知函数f(x)＝x3－ax＋b(a，b∈R)，且f(1)＝1，f(0)＝1，则( ) A．直线y＝2x＋3是曲线y＝f(x)的切线 B．f(x)有两个极值点 C．f(x)有三个零点 D．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心 解析：ABD 由题意可得 解得 所以f(x)＝x3－x＋1，f′(x)＝3x2－1. 对于A，令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1， 又f(1)＝f(－1)＝1， 当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1， 当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，A正确； 对于B，令f′(x)>0得x>或x<－， 令f′(x)<0得－
0， f（）＝1－>0，f(－2)＝－5<0， 所以函数f(x)在（－∞，－）上有一个零点， 当x≥－时，f(x)≥f（）>0， 即函数f(x)在（－，＋∞）上无零点， 综上所述，函数f(x)有一个零点，C错误； 对于D，令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R， 因为h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)， 则h(x)是奇函数，所以(0，0)是h(x)的对称中心， 将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象， 所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，D正确．故选ABD. 2．若直线x＝a与两曲线y＝ex，y＝ln x分别交于A，B两点，且曲线y＝ex在A点处的切线为m，曲线y＝ln x在B点处的切线为n，则下列结论正确的是( ) A． a∈(0，＋∞)，使m∥n B．当m∥n时，|AB|取得最小值 C．|AB|的最小值为2 D．|AB|>ln 2＋log2e. 解析：ABD 对于A，由直线x＝a与两曲线y＝ex，y＝ln x分别交于A，B两点可知a>0. 曲线y＝ex上A点坐标(a，ea)，可求导数y′＝ex， 则切线m斜率km＝ea，可知切线m：y－ea＝ea(x－a). 曲线y＝ln x上B点坐标为(a，ln a)， 可求导数y′＝，则切线n斜率kn＝. 令km＝kn，则ea＝， 令g(x)＝ex－(x>0)，g（）＝e－2<0，g(1)＝e－1>0， 由零点存在定理， a∈（，1）使g(x)＝0，即 a∈(0，＋∞)，使km＝kn，即m∥n，A正确； 对于B，|AB|＝ea－ln a， 令h(a)＝ea－ln a(a>0)， 所以h′(a)＝ea－， 由g(x)同理可知有a0∈（，1），使ea0＝. 令 所以h(a)在a＝a0处取最小值，即当m∥n时，|AB|取得最小值，B正确； 对于C，|AB|min＝ea0－ln a0， 因为ea0＝，所以a0＝ln ＝－ln a0， 所以|AB|min＝＋a0，是对勾函数，在a0∈（，1）上是减函数， 所以|AB|min∈（＋1，＋） |AB|min∈（2，），C错误； 对于D，因为a0>，所以<2，所以ea0<2＝eln 2，所以a0
