5.4 函数的奇偶性 教学设计（共2课时）

第5章 函数概念与性质 5.4 函数的奇偶性（第1课时） ▍教学目标 理解函数的奇偶性及其几何意义． 学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 学会判断函数的奇偶性． 数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性． 逻辑推理：证明函数奇偶性． 直观想象：利用函数图象来研究函数性质． ▍情境设置 【问题1】 在大自然和我们的日常生活中存在着许多对称的现象：美丽的蝴蝶，北京天坛，中国的古代太极图，精美的剪纸． 你能说出它们分别属于哪种对称吗？ 数学源自生活，你能举一些数学中的对称现象吗？ [学生活动] 第一、第二幅图形是轴对称图形，第三第四幅图形是中心对称图形． 一些平面图形，如：圆，正方形，等腰三角形等． 【问题2】 你能说出轴对称图形在初中是如何定义的吗？中心对称图形呢？ 数学中，哪些函数的图象具有对称性？ [学生活动] 初中的轴对称定义是：将图形沿对称轴翻折后，两侧完全重合； 中心对称图形的定义是：将图形按对称中心旋转180度后，完全重合． [教师引导] 初中对对称的定义主要是从整体宏观上界定，若从微观上点的特点来看，本质应是：图形上任意一点关于对称轴（中心）的对称点仍在该几何图形上． [学生活动] 初中，数学中函数，的图象分别关于轴成轴对称和原点成中心对称． ▍概念的探究与建构 【问题3】 你能判断函数图象的对称性吗？ [学生活动] 不能． [教师引导] 我们只能通过翻折和旋转的方法来判断一个图形是否具有对称性．这种方法的缺陷是必须预先知道函数的图象．有时即使知道函数的图象，我们也难以通过翻折和旋转后判断出每个点能够保证“严丝合缝”． 因此，我们还需要挣脱“形”的束缚，迫切需要从代数的角度来探究函数对称性的判断方法． 【问题4】 请画出函数的图象，并将下表补充完整： 自变量……函数值 从形上看，图形具有怎样的特征？ 从数上来看，观察表格，你发现了什么？ [学生活动] 数量，，…… [教师引导] 对于任意的自变量，又有怎样的代数关系呢？ 观察的图象和表格，你发现什么？ [学生活动] 从图形上看：函数图象关于轴对称；从数量上看：对于任意的自变量，都有． 【问题5】 用怎样的数量关系刻画函数的图象关于轴对称这一特征呢？ [学生活动] ． [教师引导] 如何予以代数证明呢？（师生共同完成） 证明：设点是函数图象上任意一点， 则点关于轴的对称点为， 又函数的图象关于轴对称，则在函数的图象上， 所以，且，则． 所以，函数的图象关于轴对称 [教师引导] 反之也成立吗？ 形成知识 函数的图象关于轴对称，我们把在定义域内任意的自变量满足的函数称为偶函数． 【问题6】 你能用数学符号语言给偶函数下一个定义吗？ [学生活动] 学生表达，师生共同完善补充． 形成知识 一般地，设函数的定义域为．如果对于任意的，都有，并且，那么称函数是偶函数． 【思考】 判定下列函数是否为偶函数： [学生活动] 通过具体问题的解决，进一步加深对概念定义的理解． 【问题7】 偶函数的定义域有何特点？ （如果一个函数是偶函数，那么它的定义域有什么特点？） 偶函数的图象特征是什么？ 式子的本质内涵是什么？ [教师引导] 类比偶函数定义得到的过程． 形成知识 函数是偶函数，则： 定义域特点：关于原点对称； 代数本质：定义域内，等式恒成立； 几何特征：图象关于轴对称． 偶函数定义域特点关于原点对称代数本质几何特征图象关于轴对称 [学生活动] 类比方法，自主探究． 【问题8】 如何用数量关系来刻画函数图象关于原点对称？ 以函数为例，分组合作探究． 自变量…函数值 通过取点，你发现横坐标取相反数时，纵坐标什么关系？ 函数图象关于原点对称，表达式满足的关系是什么？ 函数图象关于原点对称，表达式满足的关系是什么？ [学生活动] 当自变量取一对相反数时，对应的 ... ...