第5章 函数概念与性质 小结与复习 教案（共2课时）

第5章 函数概念与性质 小结与复习（第1课时） ▍教学目标 掌握函数的概念． 了解分段函数，会画分段函数的图象． 理解函数性质并且熟练运用． 数学抽象：函数的概念． 逻辑推理：函数的性质． 数学运算：求定义域、值域、函数解析式等． ▍典例精讲 题型一：函数的三要素 【例题1】 函数的定义域为（ ） [解析] 由题意知：解得且，即的定义域为． [答案] D 【例题2】 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ） [解析] 由函数的定义域是，则，，即的定义域为，再令，解得，即的定义域为． [答案] C 方法归纳 求函数定义域的类型与方法： 已给出函数的解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； 抽象复合函数问题： 已知的定义域为，则的定义域由解出； 已知的定义域为，则求的定义域为在上的值域． 【例题3】 求下列函数的值域： ； ； ． [解析] （借助反比例函数的特征求解） ． 因为，所以，所以函数的值域为． 因为， 又，当时，， 所以该函数的值域为． （换元法求函数值域） 令（），则，（），由二次函数的单调性可知，所以该函数的值域为． 方法归纳 求函数值域的常用方法： 分离常数法：利用反比例函数的特征求解； 配方法：二次函数值域最基本的方法； 换元法：新元的范围是关键； 单调性法． 【例题4】 已知，则_____； 已知二次函数满足，，，则该二次函数的解析式为_____； 若，则的解析式为_____． [解析] 令（），则，因为， 所以，即． 设二次函数的解析式为， 由题意可知解得故． 令（），则， 原式转化为 ① 以代替，①式变为 ② 由①②消去得到，故． 方法归纳 求函数解析式的常用方法：待定系数法，换元法，解方程组法． 题型二：分段函数 【例题5】 已知函数 求的定义域、值域； 求； 解不等式． [分析] 分段函数是指在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系也不同．分段函数的定义域和值域分别是各段函数定义域和值域的并集．分段函数虽由几部分构成，但它代表的是一个函数，处理方法是分段考虑或应用数形结合思想． [解析] 的定义域为； 易知在上是增函数，所以；在上是减函数，所以．综上，该函数值域为． ，． 等价于： ①或②或③ 解①得，解②得，解③得， 所以的解集为． 【变式1】 已知函数则_____，的最小值为_____． 设，若，则_____． [解析] ；当时，； 当时，，当且仅当即时取等号，所以的最小值为． 当时，是增函数，若，， 所以，．由得，解得，则． 方法归纳 分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式．主要考查与分段函数有关的求值，求参数，判断单调性，奇偶性和解不等式等问题． 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值． 已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应的自变量的值，切记要检验． 题型三：函数图象的识别与应用 【例题6】 已知函数，如果且，则它的图象可能是（ ） [解析] 因为且，所以，，，则可知开口向上，排除A、C，然后根据，可知函数图象与轴的交点在轴下方． [答案] D 【例题7】 对于函数． 判断其奇偶性，并指出图象的对称性； 画此函数的图象，并指出单调区间和最小值． [解析] 函数的定义域为，关于原点对称，． 则，所以是偶函数．图象关于轴对称． 画出图象如图所示，根据图象知，函数的最小值是． 单调递增区间是，；单调递减区间是，． 方法归纳 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性．一方面，利用函数图象能直接判断函数的单调性、奇偶性等性质，还可以比较大小，求最值等．另一方面，由函数的性质也可以准确地画出函数图象．这类问题主要通过数形结合的思想方法，建立形与数的联系，利用 ... ...