4.5 函数模型及其应用 第一课时 课件+教学设计——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

(课件网) 4.5 函数模型及其应用 第一课时 一 几种函数增长快慢的比较 　　当底数a>1时，指数函数y=ax和对数函数y=logax都是增函数；我们早已熟悉的一次函数y=kx+b，当k>0时也是增函数；幂函数y=xα，当α>0时是［0，+∞)上的增函数. 这些函数的函数值y都随着自变量x的增长而增长． 　　增函数的共同特点是，函数值y随着自变量x的增长而增长．同为增长，但增长的快慢可能不同．这好比赛跑，有冠军亚军，也有排不上名次的． 　　赛跑有赛跑的规则．到最后跑到前面的才是胜利者． 一 几种函数增长快慢的比较 　　　　比较　　　和　　　在[0，＋∞)上增长的快慢. 　解　如图4.5-1所示． 例 1 图4.5-1 一 几种函数增长快慢的比较 　　开始　　　 一路领先，但越来越慢； 匀速前进；在x＝16处两者相等． 　　当x＞16时，x2＞16x，两边开方得　　　 ，即一直有 ，而且前者与后者之比 越来越大，所以 增长得更快． 　　开运动会常常要分组选拔，函数赛跑也可以先分组比一比．我们考虑五类在(0，＋∞)上递增的函数： 　　指数函数y＝ax(a＞1)算A组；幂函数y＝xα(α＞1)算B组；一次函数y＝kx＋b (k＞0)算C组；幂函数y＝xα(0＜α＜1)算D组；对数函数y＝logax(a>1)算最后一组，E组． 一 几种函数增长快慢的比较 　　同一组的比赛容易分出高低，看图便知分晓． 　　从图4.5-2(1)看出，A组内，a越大跑得越快；E组内，a越小跑得越快． 　　从图4.5-2(2)看出，B组和D组一起比赛，都是α越大跑得越快． 图4.5-2 一 几种函数增长快慢的比较 　　现在来看C组，一次函数y＝kx＋b (k>0). 　　如果两个一次函数的一次项系数相等，只有常数项不同，则两个函数的差是常数．起跑时在前面的永远在前面，领先距离永远不变．从图象上看，是两条平行直线． 　　如果两个一次函数的一次项系数不相等，系数大的跑得就快．不管起跑时落后有多少，系数大的总能后来居上，而且将遥遥领先．在方格纸上画几个一次函数的图象便能看出这个规律. 　　小组选拔赛的情形一目了然．组与组之间的比赛呢？ 　　上面已经对B，D两组做了比较． 　　数学上可以证明，B组的任一个成员y＝xα(α＞1)总比C组的y＝kx＋b (k>0)增长得快． 一 几种函数增长快慢的比较 　　　　比较y=x1.0001和y=100x+1000在[0，＋∞)上增长的快慢. 　解　当x>1000时，有101x>100x+1 000，因而有 　于是，对任意正数M >1，当x>(101M)10000>1000时，有 　这表明无论M多大，当x大到一定程度，y=x1.0001就会比y=100x+1000的M倍还大. 例 2 一 几种函数增长快慢的比较 　　可见，当幂指数大于1时，不论一次函数的一次项系数和常数项多么大，只要自变量足够大，幂函数的增长就比一次函数快得多. 　　类似地，C组的函数总比D组增长得快． 　　总之，指数增长最快，对数增长最慢． 　　在区间(0，＋∞)上，a>1，a>0，总会存在一个x0，当x> x0时，就有logax