第25讲 正弦定理与余弦定理 [课标要求] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解一些简单的三角形度量问题． 1．正弦定理与余弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的__正弦的比__相等，并且都等于__外接圆的直径__，即__＝＝＝2R__． (2)余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的__余弦__的积的两倍，即： a2＝__b2＋c2－2bc_cos_A__； b2＝__a2＋c2－2ac_cos_B__； c2＝__a2＋b2－2ab_cos_C__． 由余弦定理，可以得到如下推论： cos A＝____； cos B＝____； cos C＝____． 2．三角形常用面积公式 (1)S△ABC＝aha(其中ha表示边a上的高)； (2)S△ABC＝ab sin C＝__bc_sin_A__＝__ac_sin_B__； (3)S△ABC＝(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆的半径). 1．三角形边角关系 (1)三角形三边的关系：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边． (2)三角形边角关系：①三角形中，大边对大角；②三角形中，大角对大边． (3)三角形三角关系：A＋B＋C＝π. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin (A＋B)＝sin C； (2)cos (A＋B)＝－cos C； (3)sin ＝cos ； (4)cos ＝sin . 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋c cos A；c＝bcos A＋acos B. 4．解三角形的四种基本类型 (1)已知两角及任一边，求另一角和两边； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边及另两角； (3)已知两边和它们的夹角，求另一边及另两角； (4)已知三边，求三角． 1．在△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C 在△ABC中，若sin A＝， 则A＝或，因为{，}?{}， 所以“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．故选C. 2．(2024·高三江苏泰州期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，A＝，cos B＝，则b＝( ) A． B．1 C．2 D．2 解析：B 因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝＝， 由正弦定理＝，即＝，解得b＝1.故选B. 3．(教材母题必修6.4.3练习T1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，c＝3，cos A＝，则a＝( ) A． B．2 C．2 D． 解析：A 在△ABC中，b＝1，c＝3，cos A＝， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋9－2×1×3×＝6， 所以a＝.故选A. 4．(2024·广东茂名模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，ac＝4，则·＝( ) A． B．－ C．2 D．－2 解析：D 由余弦定理得cos B＝＝.又因为B∈(0，π)，所以B＝， 故·＝ac cos (π－B)＝－2.故选D. 5．(2024·山西晋城三模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝30°，b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为_____． 解析：1 因为A＝30°，b2＋c2－a2＝4，所以2bc cos A＝bc＝4，所以bc＝4， 所以△ABC的面积为bc sin A＝1. 探究点1 正弦定理和余弦定理 【例1】 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B，则B等于( ) A． B． C． D． (2)(2024·重庆模拟预测)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b＝6，a2＋c2＝3ac，则△ABC的面积为( ) A． B． C． D． 解析：(1)B 由已知a＝bcos C＋csin B及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B， 又sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Csin B， 化简可得sin B＝cos B，即tan B＝1. 因为B为三角形的内角，所以B＝.故选B. (2)A 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即36＝a2＋c2＋ac＝3ac＋ac＝4ac， 解得ac＝9， 所以△ABC的面积为ac sin B＝×9×＝.故选A. (1)解三角形的基本类型有四类，已知△ABC中的边 ... ...
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