6.3 对数函数 教学设计 共2课时

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.3 对数函数（第1课时） ▍教学目标 理解对数函数的概念，会判断对数函数． 初步掌握对数函数的图象和性质． 对数函数图象性质的简单应用． 数学抽象：理解对数函数的概念，了解对底数、真数的限制条件的合理性． 逻辑推理：对数函数图象的性质的应用． 直观想象：掌握对数函数图象的性质． 数学运算：求复合函数的定义域． ▍情境设置 【问题1】 我们知道某细胞分裂时，由个分裂成个，个分裂成个……细胞个数是分裂次数的指数函数，因此知道的值就能求出的值．现在，我们来研究相反的问题：知道了细胞个数，如何确定分裂次数？ [学生活动] 完成下列表格： 细胞个数…分裂次数…次数对数表示… [教师引导] 由对数的意义可知，当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次；当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次；当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次……当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次，我们发现对于每一个分裂后细胞个数，通过对应关系，细胞分裂次数都有唯一的值与之对应，从而也是关于的一个新的函数． 【问题2】 放射性物质经过的时间（单位：年）与物质剩留量的关系是指数函数（，）．反过来，如果知道放射性物质剩留量，如何得知它经过的时间呢？ [学生活动] ，是的函数． [教师引导] 上述的两个新的函数都是是自变量，是的函数，跟我们的习惯不符，所以习惯上，仍用表示自变量，用表示它的函数．这样，上面两个函数就分别写成和 ▍概念的探究与建构 【问题3】 函数和具有什么共同特征？你能再举两个例子吗？ [学生活动] 这些函数的表达式都是对数的形式，底数是常数，真数是自变量，如，． 形成知识 一般地，函数（，）叫作对数函数，它的定义域是． 【问题4】 类比指数函数的形式，对数函数的形式应满足哪些条件？ [学生活动] 前的系数应为；底数为大于且不等于的常数；真数仅有自变量． 【思考1】 判定下列函数是否为对数函数？ 下列函数表达式中，是对数函数的有（ ） ①；②（）；③；④； ⑤；⑥． 个 个 个 个 [解析] 根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数不能保证且，∴②不是对数函数；由于⑤的真数为不是对数函数；⑥的对数后面加了个，不是对数函数，∴只有③、④符合对数函数的定义． [教师引导] 判断一个函数是对数函数必须是形如（且）的形式，即必须满足以下条件：（1）前的系数应为；（2）底数为大于且不等于的常数；（3）真数为系数为次数也为的单项式，一般是． 【问题5】 下面我们来研究对数函数的性质，类比指数函数，我们怎么得到对数函数的性质？ [学生活动] 用列表描点连线的方法画图，通过图象研究对数函数性质． [教师引导] 每位同学从下述二组函数中选择一组底数互为倒数的对数函数在同一个坐标轴里用描点法作出函数的图象．（可以同桌两人分工一人画一组） 与； 与． 【问题6】 你能根据画出的图象归纳总结出对数函数的性质吗？ [学生活动] 学生表达，师生共同完善补充． 定义（，且）底数图象定义域值域单调性在上是增函数在上是减函数共点性图象过定点，即时，函数值特点时，； 时，时，； 时，对称性函数与的图象关于轴对称 【思考2】 通过图象你还能得到对数函数的其他性质吗？比如对数函数图象的分布规律． [学生活动] 对于底数的对数函数，在区间内，底数越大越靠近轴； 对于底数的对数函数，在区间内，底数越小越靠近轴． [教师引导] 还可以作直线，与这些对数函数的图象交点的横坐标就是相应对数函数的底． 【问题7】 函数与函数（且）的定义域、值域之间有怎样的关系？ [学生活动] 画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，寻找它们之间的关系： ，； ，； [学生活动] ... ...