第6章 幂函数 指数函数和对数函数 小结与复习（第1课时） ▍教学目标 理解分数指数幂、对数的意义，掌握有理指数幂、对数的运算，掌握指数函数 对数函数 幂函数的概念图象和性质，知道指数函数 对数函数 幂函数是描述客观世界变化规律的重要教学模型． 利用函数性质比较大小，解指数对数方程或不等式． 利用函数性质解决函数综合问题． 逻辑推理：运用幂函数，指数函数，对数函数单调性比较大小． 数学运算：分数指数幂，指数，对数的化简求值． 数学建模：运用数形结合思想，利用单调性，奇偶性解决问题． ▍复习回顾 [教师引导] 幂函数，指数函数，对数函数的定义： 幂函数定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数． 指数函数定义：一般地，函数叫作指数函数，它的定义域是． 对数函数定义：一般地，函数叫作对数函数，它的定义域是． 幂函数，指数函数，对数函数的性质： 幂函数（为常数，） 幂函数的定义域 值域 奇偶性要结合具体的值来看，但无论取何值，幂函数的图象一定过定点． 当时，在上，函数单调递减； 当时，在上，函数单调递增； 当时，在上，函数单调递增； 其他象限的单调性可以利用具体函数的奇偶性得到． 指数函数 图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，单调性在上是增函数在上是减函数 对数函数 图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，单调性在上是增函数在上是减函数 [处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式．教师可以采用以下提问方式： 我们已经学习了几个重要的函数：幂函数，指数函数和对数函数，请你谈谈对三个函数定义性质的理解． 让学生自主主动回顾 检索所学知识，并分层次予以理解和表达，有利于学生形成并提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图． ▍典例精讲 题型一：指对幂函数的运算 【例题1】 化简： ； ； ． [思路分析] 按照指数 对数的运算性质进行计算，但应注意乘法公式的应用． [解析] 原式． 原式． 原式 ． 方法归纳 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子 分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算 化简 证明常用的技巧． 对于底数相同的对数式的化简，常用的方法： “收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数． “拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）． 题型二：比较数的大小问题 【例题2】 比较下列各组数的大小： ，，； ，； ，，，． [思路分析] 指数，对数比较大小时常常需结合指对幂函数的性质． [解析] 因为，，， 所以． 法一： 在同一坐标系中作出函数与的图象： 由底数变化对图象位置的影响知：． 法二：， ∵，∴． 因为，所以在上为增函数， 所以，即．同理，即． 又因为，，所以，故有． 方法归纳 利用指对幂函数的性质比较大小的常用方法： 比较两数（式）或几个数（式）大小问题是本章的一个重要题型．常用的方法有单调性法 图象法 中间搭桥法 作差法 作商法． 当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数 对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． 采用“媒介法”引入，，把三个数与，相比较得结论，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小． 题型三：解关于指对幂的不等式或方程 【例题3】 ； ． [解析] 令，原方程可化为， 因式分解为，解得或（舍），所以，解得． 解得 即或． 【变式】 解不等式：（或）． [思路分析] 在具体的解题过程中，要注意底数的范围对函数单调性的影响，当底数的范围不确定时，要分，进行讨论． [解析] 当时， ... ...
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