7.1.2 弧度制 教学设计

第7章 三角函数 7.1 角与弧度 7.1.2 角与弧度 ▍教学目标 理解弧度的意义． 能正确地进行角度与弧度的换算． 掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题． 数学抽象：弧度的意义． 数学运算：角度与弧度的换算． 数学分析：利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决简单的实际问题． ▍情境设置 【问题1】 描述某人身高尺，体重斤． 这里的尺、斤是什么单位？ 描述身高和体重，同学们更熟悉什么单位？ [学生活动] 尺、斤是市制单位． 我们更熟悉国际单位．度量身高用米，度量体重用千克． [教师引导] 事实上，尺米，斤千克，换算之后，某人身高米，体重千克．可见，同一个量的不同单位制之间可以相互换算． 【问题2】 上节课我们把角的概念推广到了任意角．那么，如何度量一个角？ 角的度量单位是什么？ 度的角是如何规定的？ [学生活动] 角的度量单位是角度． 规定周角的为度的角． [教师引导] 具体说：将圆周等分，每一份弧所对的圆心角为度．由此可见，角的度量与弧长的度量密切相关!我们所学的平面几何，最核心的问题是度量，而长度是度量最重要的特征．既然角与弧长有关系，我们就想：能否用弧长度量角？能否用长度度量角的大小？ ▍概念的探究与建构 【问题3】 能否用长度度量角的大小？填表： 半径为时 的弧长圆心角的 角度数（备用：时的弧长）圆周半圆周圆周圆周的圆心角所对的弧 给定圆心角，它的大小会随半径的变化而变化吗？ 给定圆心角， 若给定半径，此时你能找到一个合适的量来度量圆心角吗？ 若半径变化，此时你能找到一个合适的量来度量圆心角吗？ [学生活动] 给定圆心角，改变半径与弧长，发现角的度数不变． 小组讨论交流．给定半径，第一列的弧长就是定值，可以用来反映这些角的大小． [教师引导] 他想到：将半径定量，就能用刻画圆心角的大小． 但是，如果变化呢？有什么方法能消去半径呢？ [学生活动] 用弧长除以半径，即用去度量角的大小． [教师引导] 几何画板进行实验验证．至此，就可以用长度去度量角度．你能用代数方法给出理论推导吗？ [学生活动] ，可见，圆心角的大小与形成一一对应的关系． [教师引导] 既然我们隆重推出这个比值来度量角，就要给它个新身份，数学抽象，记弧长与半径之比，这里的就是个实数，可用这个实数去度量角．实现了角与实数运算进制的统一．现在仅用一个数去表示一个量，你觉得还缺点什么？ [学生活动] 缺少单位． [教师引导] 由于这是通过度量弧长来度量角，所以给它个单位：弧度． 称为圆心角的弧度数． 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制． 【问题4】 弧度的角如何定义呢？ [学生活动] 时，． [教师引导] 请你把符号语言转化为文字语言，给出弧度的角的定义． 形成知识 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作弧度的角，记作rad，读作弧度．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制． 【思考1】 若圆半径为，圆心角（正角）所对的圆弧长为，那么的弧度数是多少？ 【变式】 若圆半径为，圆心角（负角）所对的圆弧长为，那么的弧度数是多少？ 【思考2】 设长度为的线段绕端点旋转形成角（为任意角，单位为弧度），若将此旋转过程中点形成的弧长设为，则、、之间具有怎样的关系？（用等式回答） [学生活动] 由【思考2】得到，变形得． 形成知识 弧长公式：． 【思考3】 若弧是一个整圆，则其圆心角（正角）的弧度数是多少？若弧是一个半圆呢？ 【思考4】 度等于多少弧度？弧度等于多少度？ [学生活动] 由【思考3】发现． ▍知识的运用与升华 【例题1】 写出下列特殊角对应的角度和弧度： 说明：当弧度数用表示时，如无特别要求，不必把写成小数． [学生活动] 口答．（教师板演过程） 形成知识 角的概念推广以后，在 ... ...