7.2.1 任意角的三角函数 教学设计 共2课时

第7章 三角函数 7.2 三角函数概念 7.2.1 任意角的三角函数（第1课时） ▍教学目标 通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号． 能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题． 数学抽象：通过三角函数定义的学习，从中体会三角函数同一般函数一样，具有一般函数的抽象美，发展学生的数学抽象素养． 直观想象：借助几何中的相似形和圆理解三角函数的定义及判断任意角三角函数在各象限的符号． ▍情境设置 [教师引导] 用与用坐标均可表示圆周上点，这两种表示有什么内在联系？确切地说，用怎样的数学模型刻画与之间的关系？ ▍概念的探究与建构 【问题1】 在前面的学习中，我们是如何研究角的？ [学生活动] 建立直角坐标系，将角的顶点放在坐标原点，始边为轴的非负半轴，在坐标系中画出角． 【问题2】 在初中，我们是如何研究锐角三角函数的？ [教师引导] 初中所学的锐角三角函数是借助于直角三角形来研究的，如图1，画出直角三角形，设角为直角，写出锐角的正弦、余弦、正切． [学生活动] 在中，，，． 图1 图2 图3 图4 【问题3】 在直角坐标系中，如图2，如何用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数？ [学生活动] 过点P作轴的垂线，垂直为，得到，，，，根据锐角三角函数的定义可得，，． 【思考1】 对于锐角，当点在角的终边上运动时，的正弦、余弦、正切值会改变吗？ [学生活动] 如图4，在角的终边上另取一点，过点作轴的垂线，垂直为，根据三角形的相似性可得对于确定的角，比值，，不会随点在的终边上的位置改变而改变． 【思考2】 既然比值与点在角的终边上的位置无关，那么能否在终边上取适当的点，将表达式简化？ [学生活动] 对于确定的角，比值，，与点在的终边上的位置无关，因此将点取在角的终边与单位圆的交点处，即，得到，，． 【问题4】 对于锐角，与终边和单位圆的交点的横坐标，纵坐标，以及有什么对应关系？ [教师引导] 角可以用角度制度量，也可以用弧度制度量，在弧度制下，是一个实数，这样角的集合（实数集）与实数集之间建立了一一对应的关系． [学生活动] 对于任意的一个实数，都有唯一的横坐标（纵坐标）与之对应，符合函数的定义． 【思考3】 与锐角终边相同的角，上述对应关系是否依然成立？ [学生活动] 与锐角终边相同的角对应关系没有改变，依然成立． 【问题5】 当角终边在第二、三、四象限时，，，是否依然成立？ [学生活动] 当角终边在第二、三、四象限时，类比第一象限角的三角函数的定义，依然成立． 形成知识 任意角的三角函数定义： 一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是，则．此时，点是角的终边与半径为的圆的交点．根据相似三角形知识可知，比值，，与的终边上的点的位置无关．我们规定： 比值叫作的正弦，记作，即； 比值叫作的余弦，记作，即； 比值（）叫作的正切，记作，即． 【思考4】 这种比值形式能进一步简化吗？ [学生活动] 令，，，． 【思考5】 对于每一个确定的角，都分别由唯一确定的比值，，与之对应，因此这三个对应法则都是以角为自变量的函数，分别叫作正弦函数、余弦函数和正切函数，那么它们的定义域是什么？ 形成知识 三个三角函数的定义域： 三角函数定义域 【问题6】 能否确定正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号？若的终边落在坐标轴上呢？ [学生活动] 通过三角函数的定义可知，三角函数值在各个象限的符号与终边上的点的坐标有关． 形成知识 三角函数值在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． ▍ ... ...