基础小题回练(四) 平面向量 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= ( ) A. B. C. D.1 3.(2024·绍兴4月适应性考试)已知四边形ABCD是平行四边形,=2,=2,记=a,=b,则= ( ) A.-a+b B.-a-b C.a+b D.a-b 4.(2024·日照三模)已知a和b是两个单位向量,若 a,b =,则向量a与向量a-b的夹角为 ( ) A. B. C. D. 5.(2024·北京高考)设a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(2024·德州二模)在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,=3,=,AE,CF交于点D,则||= ( ) A. B. C. D. 7.(2024·苏州三模)已知|a-b|=|2a-b|=2,且2a-b在a方向上的投影向量为单位向量,则|b|= ( ) A.4 B.2 C.4 D.6 8.[多选]在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E为线段CD的中点,AC和BD交于点O,则 ( ) A.·=0 B.·=2 C.·=- D.·= 9.(2024·鹰潭三模)[多选]已知向量a=(sin θ,cos θ),b=(1,),c=(3,),则 ( ) A.若a⊥b,则tan θ=- B.c在b方向上的投影向量为b C.存在θ,使得a在c-b方向上投影向量的模为1 D.|a-b|的取值范围为[1,3] 10.[多选]已知e1, e2是两个单位向量,若=e1+ne2,n=1,2,3,则 ( ) A.P1,P2,P3三点共线 B.||<||<|| C.·e1<·e1<·e1 D.·e2<·e2<·e2 11.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,(a+b)⊥b,则向量a与b的夹角为 . 12.已知向量=(1,-3),=(-1,tan α) ,A,B,C三点共线,则tan= . 13. 已知正三角形ABC的边长为2,点D满足=m+n,且m>0,n>0,2m+n=1,则||的取值范围是 . 基础小题回练(四) 平面向量 1.选D 因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0,故x=2. 2.选B 因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b,又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而|b|=. 3.选A 因为在 ABCD中,=2,=2,=a,=b, 所以=-=-=-a+b. 4.选B 因为a和b是单位向量,所以|a|=|b|=1.又因为
=,所以a·(a-b)=a2-a·b=1-1×1×=,所以|a-b|===1,所以cos==.又∈[0,π],所以向量a与向量a-b的夹角为. 5.选B 由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,当a=(1,1),b=(-1,1)时,|a|=|b|,但a≠b且a≠-b,故充分性不成立;当a=-b或a=b时,(a+b)·(a-b)=0,故必要性成立.所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. 6.选C 建立如图所示的坐标系, 则A(0,0),B(3,0),又=3,= F(1,0),C(1,),E,故直线AE的方程为y=x,可得D,所以||==. 7.选B 由题意可得|2a-b|=2,所以(2a-b)2=4,即4a2-4a·b+b2=4,所以4|a|2-4a·b+|b|2=4 ①.因为|a-b|=2,所以(a-b)2=4,即a2-2a·b+b2=4,所以|a|2-2a·b+|b|2=4 ②.①-②可得3|a|2=2a·b,即a·b=|a|2.又2a-b在a方向上的投影向量为单位向量,则==1,即=1,解得|a|=2,则a·b=|a|2=6,代入②中可得4-2×6+|b|2=4,解得|b|=2. 8.选ABD ∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,则以O为坐标原点,,为x,y轴的正方向,可建立如图所示平面直角坐标系.∵AB=AD=2,∠DAB=60°,∴BD=2,OA=OC==,∴O(0,0),A(-,0),B(0,-1),D(0,1),E. 对于A,∵AC⊥BD,∴·=0,A正确; 对于B,∵=(,-1),=(,1),∴·=3-1=2,B正确; 对于C,∵=,=(-,1),∴·=-+=-1,C错误; 对于D,∵=,=,∴·=+=,D正确. 9.选ACD 若a⊥b,则a·b=sin θ+cos θ=2sin=0,则θ+=kπ(k∈Z),即θ=kπ-(k∈Z),所以tan θ=tan=-(k∈Z),故A正确; c在b方向上的投影向量为b=b=b,故B错误; a在c-b方向上的投影向量的模为==|sin θ|,若|sin θ|=1,则sin θ=±1,所以存在θ,使得a在c-b方向上的投影向量的模为1,故C正确; |a-b|= == ,因为-1≤sin≤1,所以-4≤- ... ... 
