圆的基本性质 ①探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．(删除*，改为必学) ②知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等．(新增) 考点一：与圆有关的性质 对称性 轴对称 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 中心对称 圆心是它的对称中心 旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合 考点二：圆周角定理及其推论 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的①____ ? 推论 同弧或等弧所对的圆周角②____ 半圆(或直径)所对的圆周角是③____，90°的圆周角所对的弦是④____ 【提示】 1．一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补； 2．一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角 一半 相等 直角 直径 考点三：三角形的外接圆 图 形 圆心名称 性 质 角度关系 外 接 圆 ? ⑤ (三角形的外接圆的圆心或三角形三边垂直平分线的交点) 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离⑥_____ ∠BOC＝⑦__∠A＝360°－2∠A′ 外心 相等 2 【提示】锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外．当三角形形状不确定时，应用外心要分类讨论． 【重要结论】直角三角形外接圆的半径r＝12c(c为斜边长)；等边三角形外接圆的半径r＝33a(a为边长) ? 考点四：弧、弦、圆心角之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 ? 推论 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也分别相等 【提示】运用定理和推论时，要注意条件“在同圆或等圆中”不能丢 考点五：圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角⑧____ ? 【提示】圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角(即和它相邻的内角的对角) 【拓展】圆幂定理：如图，若圆内任意弦AB，弦CD所在直线交于点P，则PA·PB＝PC·PD 互补 考点六：垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径⑨____弦，并且⑩____弦所对的两条弧(2022版课标调整为必学内容) ? 推论 平分弦(不是直径)的直径?____于弦，并且平分弦所对的两条弧 【拓展】 (1)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (2)根据圆的对称性，如图，在下列5条结论中：①????????＝????????；②????????＝????????；③AM＝BM；④AB⊥CD；⑤CD是⊙O的直径．若其中任意两个结论成立，则其他三个结论一定成立，即“知二推三”； (3)常作辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，得OB2＝OM2＋????????22 【提示】 1．使用垂径定理的推论时要注意“弦非直径”这一条件； 2．利用垂径定理时，易忽视弦在图中的不同位置，从而造成漏解 定理 垂直于弦的直径⑨____弦，并且⑩____弦所对的两条弧(2022版课标调整为必学内容) ? 推论 平分弦(不是直径)的直径?____于弦，并且平分弦所对的两条弧 【提示】 1．使用垂径定理的推论时要注意“弦非直径”这一条件； 2．利用垂径定理时，易忽视弦在图中的不同位置，从而造成漏解 平分 平分 垂直 1．(人教九上P87例4变式)如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，D是????????上与点C异侧的一点，连接OC，AC，AD，BC，CD. (1)∠ACB＝ °； (2)若∠D＝ °. ①∠B＝55°； ②∠AOC＝ °，∠CAB＝ °. ? 90 55 110 35 2．(人教九上P85练习T1变式)如图，点A，B，C，D在⊙O上，若AB＝CD，则下列结论中错误的是( ) A.????????＝???????? B．AC＝BD C．AD＝BD D．∠ADC＝∠BAD ? C 3.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，则它的外心与顶点之间的距离为 cm； (2)点O是△ABC的外心，且∠BOC＝110°，则∠OCB＝ . 4．(人教九上P88练习T5变式)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接OB，OD. (1)若∠DCE＝72°，则∠BAD＝ °； (2)若∠BCD＝100 ... ...
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