圆中的最值问题 类型一：点圆最值问题 问题：已知平面内一点A和⊙O，P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为r，OA＝d，求A，P两点间距离的最值． 模型特征：平面内一定点A与半径为r(定值)的圆上一动点P之间距离的最值 基本思路：有圆找圆心，“两点”化“三点”，三点共线取最值 模型构建 类型 定点在圆外(最常考) 定点在圆上 定点在圆内 图形 ? ? 已知Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，则PQ长的最小值是 ，最大值是 . 2 8 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝10，D是边BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径作⊙D，E是⊙D上一点，求线段AE长的最值． 解：当A，E，D三点在一条直线上时，线段AE取得最值． ∵BC＝10，D是边BC的中点， ∴BD＝12BC＝5， ∵∠ABC＝90°，AB＝12， ∴AD＝????????2＋????????2＝13. ∴线段AE的最小值为AD－DE＝8. 当点E在AD的延长线上时(即A，D，E三点共线，且D在A与E之间)，AE的值最大， 此时AE的最大值为AD＋DE＝18. ? 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O内一点，AC＝BC，D是⊙O上一点，连接CD，若∠ACB＝120°，△ABC的面积为43，求线段CD长的最值． ? 解：连接OC.∵AB是⊙O的直径．∴OA＝OB. ∵AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB. ∵∠ACB＝120°，∴∠ACO＝∠BCO＝60°， ∴OA＝3OC，∴AB＝2OA＝23OC， ∵S△ABC＝12AB·OC＝43，∴OC＝2， ∴OA＝3OC＝23. 当C，O，D三点共线，且C在O与D之间时，CD的值最小，此时CDmin＝OA－OC＝23－2. 当C，O，D三点共线，且O在C与D之间时，CD的值最大，此时CDmax＝OA＋OC＝23＋2. ? 类型二：线圆最值问题 问题：已知⊙O及直线m，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为r，圆心O到直线m的距离为d.求点P到直线m距离的最值． 模型特征：半径为r(定值)的圆上一动点P与定直线m间距离的最值 模型构建(记圆心O到定直线m的距离为d，圆半径为r) 类型 图形 作图(及依据) 依据与总结 线圆 相离 ? ? ? 依据1：垂线段最短 依据2：三角形三边关系及三点共线 总结：过圆心作定直线的垂线与圆相交，近垂足取最小，远垂足取最大 线圆 相切 ? ? ? 如图，已知AB为⊙O的弦，P为⊙O上一点，若∠APB＝45°，AB＝4，求△ABP面积的最大值． 解：连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点Q，连接AQ，BQ，设点P到直线AB的距离为h，∴S△ABP＝12AB·h， ∵AB为定值，∴当h最大， 即h＝CQ时，△ABP的面积最大， ∵∠APB＝45°，∴∠AOB＝90°， ∵OC⊥AB，AB＝4，∴AC＝BC＝OC＝12AB＝2， ∴AO＝OQ＝22，∴CQ＝OC＋OQ＝2＋22， ∴S△ABP最大＝12×4×(2＋22)＝4＋42. ? 如图，在△ABC中，AB＝6，C是⊙O上任意一点，若⊙O的半径为2，点O到AB的距离为5，求△ABC面积的最小值与最大值． 解：如答图①，过点O作OD⊥AB于点D，OD交⊙O于点E，连接AE，BE， 当点C与点E重合时，△ABC的面积最小， 此时S△ABC＝S△ABE＝12AB·DE＝9； 如答图②，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点E，连接AE，BE， 当点C与点E重合时，△ABC的面积最大， 此时S△ABC＝S△ABE＝12AB·DE＝21. ? 类型三：勾股定理确定最值问题 类型 圆心与弦上一点连线的垂线段长的最值 过直线l上一点向圆作切线，切线长的最值 图形 背景 ? ? 最值 ? ? 连接OQ，PQ＝????????2－????????2＝????2－????????2，当OP⊥BC时，OP长最小，PQ长最大(此时点Q与点C重合) 连接ON，当ON⊥l时，ON长最小，切线长MN取得最小值????????2－????2 类型 圆心与弦上一点连线的垂线段长的最值 过直线l上一点向圆作切线，切线长的最值 图形 背景 ? ? 最值 ? ? 如图，M为⊙O内任意一点， AB为过点M的一条弦，且AB⊥OM. (1)求证：AB是过M点的所有弦中最短的弦； (2)求证：过M点且与AB垂直的弦是过M点的所有弦中最长的弦． 证明： ... ...
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