多选题增分专练(一) 函数与导数 1.(2024·苏州模拟)定义min{x,y}表示x,y中的最小者,设函数f(x)=min{x2-3x+3,3-|x-3|},则下列说法正确的是 ( ) A.f(x)有且仅有一个极小值点为 B.f(x)有且仅有一个极大值点为3 C. x∈(-∞,2]∪[5,+∞),f(x)≤1 D. k∈R,f(x)≤k恒成立 2.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x+y)·f(x-y)=f(x)+f(y),且f(0)≠0,则下列结论正确的是 ( ) A.f(0)=1 B.y=f(x)为奇函数 C.y=f(x)不存在零点 D.f(2x)=f(x) 3.若f(x)=|ln x|的图象在x=x1,x=x2(x1
g(f(2 024)) 5.(2024·苏州三模)已知x1,x2,x3,x4是函数f(x)=x4+2x3-13x2-20x+24的四个零点,记f(x)的导函数为f'(x),则 ( ) A.x1+x2+x3+x4=20 B.x1x2x3x4=24 C.g(x)=f'(x)在[0,1]上的最小值为-36 D.存在m∈R,使得h(x)=f'+m是奇函数 6.已知定义域为R的函数f(x)满足以下条件:① x,y∈R,f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y);②f(0)≠0;③ k>0,使得f(k)=0.则下列结论正确的是 ( ) A.f(0)=1 B.f(2k)=-1 C.f(x)为奇函数 D.f(x+4k)=f(x) 7.已知函数f(x)=aex-x+a2(a∈R),则下列命题正确的是 ( ) A.当a≤0时,f(x)是R上的减函数 B.当a>0时,x=ln a是f(x)的极小值点 C.当a=e时,f(x)取到最小值e2+2 D.当a>0时,f(x)>2ln a+恒成立 8.已知函数f(x)=ax-xa(x>0,a>0且a≠1),则下列命题正确的是 ( ) A.当a=e时,f(x)≥0恒成立 B.当0e时,f(x)没有零点 D.存在a>1,使得f(x)存在2个极值点 多选题增分专练(一) 函数与导数 1.选ACD 由题意,函数f(x)=作出函数f(x)的图象,如图所示, 由图象知,f(x)有且仅有一个极小值点为,所以A正确;函数有两个极大值点1和3,所以B错误; 令f(x)≤1,可得x≤1或或解得x≤2或x≥5,即当x∈(-∞,2]∪[5,+∞)时,f(x)≤1,所以C正确;由图象知,当x=3时,函数f(x)取得最大值f(3)=3,所以存在实数k≥3,使得f(x)≤k恒成立,所以D正确. 2.选ACD 由2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得2[f(0)]2=2f(0),因为f(0)≠0,所以f(0)=1,所以A正确; 函数f(x)的定义域为全体实数,由f(0)=1,显然不符合f(-x)=-f(x),所以函数f(x)不是奇函数,所以B不正确; 由2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y),令y=0,可得2[f(x)]2=f(x)+f(0),即2[f(x)]2-f(x)-1=0,解得f(x)=1或f(x)=-,所以函数y=f(x)没有零点,所以C正确; 由2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y),令y=x,可得2f(2x)f(0)=f(x)+f(x),所以2f(2x)=2f(x),即f(2x)=f(x),所以D正确. 易错提醒:解决抽象函数问题的方法一般为赋值法,本题的易错之处为不能利用赋值法得到f(0)=1而漏选A. 3.选AC 对于A、B,由题意可得01,当01时,f'(x)=,所以l1,l2的斜率分别为k1=-,k2=,因为l1⊥l2,所以k1k2=-=-1,解得x1x2=1, (结论:互相垂直的两条直线的斜率之积为-1) 所以x1+x2>2=2, (注意:利用基本不等式时要注意等号是否成立,本题中x1-1,故C正确,D错误. 4.选AD 易知函数f(x),g(x)的定义域均为R.当x≥0时,易知函 ... ... 
