多选题增分专练(三) 平面向量与解三角形 1.设a,b是两个非零向量,下列命题正确的是 ( ) A.若a·b=0,则a∥b B.若a·b=|a||b|,则a∥b C.若a⊥b,则a·b=(a·b)2 D.若|a+b|=|a-b|,则a⊥b 2.已知z为复数,设z,,iz在复平面上对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,则下列结论正确的是 ( ) A.||=|| B.⊥ C.||=|| D.∥ 3.(2024·乌鲁木齐三模)已知点O(0,0),A(2,1),B(1,2),P(cos α,sin α)(0≤α<2π),则下列结论正确的是 ( ) A.若α=,则⊥ B.若∥,则α= C.若·=-,则sin 2α= D.||的最大值为+1 4.如图,正方形ABCD的边长为2,E是BC的中点,点P是以AB为直径的半圆上任意点,=λ+μ,则下列结论正确的是 ( ) A.λ最大值为1 B.μ最大值为1 C.·最大值为2 D.·最大值为+2 5.(2024·泉州模拟)△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,△ABC的面积S=·,则下列说法正确的是 ( ) A.A=30° B.△ABC的周长的最大值为6 C.若bc=4,则△ABC为正三角形 D.若AB边上的中线长等于,则S= 6.(2024·泉州模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 ( ) A.若a2+b2-c2>0,则△ABC是锐角三角形 B.tan A+tan B+tan C>0,则△ABC是锐角三角形 C.若a,b,c成等差数列,且b=2,则△ABC面积的最大值是 D.若a,b,c成等比数列,则cos(A-C)=1-cos B-cos 2B 7.(2024·保定三模)已知△ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=2B,则下列说法正确的是 ( ) A.a2=c(b+c) B.+的最小值为3 C.若△ABC为锐角三角形,则∈(1,2) D.若a=2,b=3,则c=5 8.已知△ABC所在平面内一点O满足3+2+4=0,则下列选项正确的是 ( ) A.=+ B.延长AO交BC于点M,则BM=2CM C.若BC=3,且·=·,则·=-6 D.若||=||=||=1,则·=- 多选题增分专练(三) 平面向量与解三角形 1.选BCD 因为a·b=0,a,b是两个非零向量,所以a⊥b,故A错误;a·b=|a||b|cos
=|a||b|,所以cos=1,所以=0,所以a∥b,故B正确;因为a⊥b,所以a·b=0,所以a·b=(a·b)2=0,故C正确;因为|a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=|a-b|2,从而a·b=0,所以a⊥b,故D正确. 2.选AB 由共轭复数的定义知||=||,A正确;设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,iz=-b+ai,∴A(a,b),B(a,-b),C(-b,a),∴·=-ab+ab=0,B正确;=(-b-a,a-b),=(-b-a,a+b),∴||=,||=,C错误;=(a,-b),显然与不一定共线,D错误. 3.选ACD 由题意可知,=(-1,1),=(cos α,sin α),对于A,当α=时,P(0,1),所以=(-1,-1),即·=1-1=0,故⊥,故A正确; 对于B,因为∥,所以存在实数λ,使得=λ,即解得tan α=-1,故α=或α=,故B错误; 对于C,因为·=-cos α+sin α=-,所以(-cos α+sin α)2=,解得sin 2α=,故C正确; 对于D,因为=(cos α-2,sin α-1),所以||===,其中sin φ=,cos φ=,所以当sin(α+φ)=-1时,||max===+1,故D正确. 4.选ACD 以AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系,则 A(-1,0),D(-1,2),E(1,1),设∠BOP=α, 则P(cos α,sin α), α∈[0,π],所以=(cos α+1,sin α),=(0,2),=(2,1),由=λ+μ,得2λ=cos α+1,λ+2μ=sin α,α∈[0,π]. 对于A,当α=0时,λmax=1,故A正确; 对于B,μ=(2sin α-cos α-1)=sin(α-θ)-≤,故B错误; 对于C,·=2sin α≤2,故C正确; 对于D,·=sin α+2cos α+2=sin(α+φ)+2≤+2(其中tan φ=2),故D正确. 5.选BC 对于A,S=·=bccos A=bcsin A,即可得到tan A=.又A∈(0,π),所以A=,故A错误. 对于B,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=4,利用基本不等式可知bc≤,所以b+c≤4,当且仅当b=c时取等号,此时周长最大值为6,故B正确. 对于C,由B可知当bc=4时,b+c=4,则b=c=2=a,故△ABC为正三角形,故C正确. 对于D,设AB边上的中线为CD,设AD=BD=t,在△ACD中,CD2=t2+b2-2tbcos=,在△ABC中,a2=(2t)2+b2-4tbcos=4,联立可解得t=b=,则S=×××=,故D错误. 6.选BCD cos C=>0,则角C是锐角, ... ... 
