5.1导数 复习学案 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（pdf版）

导数的几何意义 壹 切线的斜率 1.函数 f(x)在点 x0处的导数 f ′ (x0)的几何意义是在曲线 y= f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率． 相应地，切线方程为 y- y0= f′ (x0) (x- x0)． 2.函数 f(x)的导函数 ′ ( ) = f(x+Δx)- f(x)称函数 f x lim 为 f(x)的导函数(简称导数)． Δ→0 Δx 例题分析 例已知直线 l与曲线 y= x3- x在原点处相切，求 l的倾斜角. 解由 y = 3x2- 1，则 y |x=0=-1，即直线 l的斜率为-1，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l的倾斜角为 3π 4 . 例题分析 例以正弦曲线 y= sinx上一点P为切点得切线为直线 l，则直线 l的倾斜角的范围是 . 解因为 y= sinx，所以 y = cosx，∵ cosx∈ -1,1 ，∴切线的斜率范围是 -1,1 ，∴倾斜角的范围是 π 0, 4 ∪ 3π 4 ,π . 变式1 曲线 y= ex在点 0,1 处的切线的斜率 变式3 设曲线 y= x3- 2x2+ 1在 x= k处的切 为 1 . 线为 l，若 l的倾斜角小于 135°，则实数 k的取值范 【解析】因为 y = ex，所以 y x=0 = e0= 1，根据导数的几何意义可 围是 (-∞,0]∪ 1 ,1 ∪ 4 ,+∞= x .知，曲线 y e 在点 0,1 处的切线的斜率为 1. 3 3 【解析】令 f(x) = x3- 2x2+ 1，求导得 f (x) = 3x2- 4x，则切线 l的 2 变式2 2曲线 y= lnx- 在 x= 1处的切线的倾 斜率为 f (k) = 3k - 4k，由 l的倾斜角小于 135°，得切线 l的斜率 f (k) x <-1或 f (k)≥ 0，即 3k2- 4k<-1或 3k2- 4k≥ 0， 斜角为 α，则 sin2α的值为 3 解 3k25 - 4k<-1得 1 2 4 3 < k< 1，解 3k - 4k≥ 0得 k≤ 0或 k≥ 3 ， ∵ = 1 + 2 ∴ = ∴ = 2sinαcosα = 所以实数 k的取值范围是 (-∞ , 0]∪ 1 ,1 ∪ 4【解析】 y ， tanα 3， sin2α 3 3 ,+∞ .x x2 sin2α+cos2α 2tanα 6 3 1+tan2 = α 1+9 = 5 . 贰 切线方程 一、在型求切线方程 y= f(x) 斜率为导函数在该点的函数 值，即 y- f(x0)= f '(x0)(x-x0) k= f '(x0) 切线方程 P(x0, f(x0)) 切点 函数 f(x)在 x= x0处的导数 f ′ (x0)的几何意义是在曲线 y= f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率 1 即 f′ (x0) = k= tanα． 相应地，切线方程由直线的点斜式方程表示为 y- f x0 = f′ x0 ·(x- x0)． 解题步骤： 1 求斜率:求该点处的导数值：k= f′(x0) (2)求切线:点斜式对应的直线方程：y- f(x0)= f′(x0)(x-x0) 例题分析 例求函数 f x = xlnx在 1,0 处的切线方程. 解 ∵ f x = lnx+ 1，所以切线的斜率为 k= f 1 = 1，所以函数 f x 在 1,0 处的切线方程为 y- 0= x - 1，即 y= x- 1. 变式1 已知函数 f(x) = ax4+ -x 2x的图象经过点 此时 f x = e - 3，故所求切线的斜率为 f -1 = e- 3，又 f -1 =-e+ 4， A(1 , 1)，则函数 f (x)在点 A处的切线方程是 故函数 f x 在点 -1, f -1 处的切线方程为 y- -e+4 = 2x+y-3=0 . e-3 x+1 ，即 e-3 x- y+ 1= 0． 【解析】将点A(1 , 1)的坐标代入 f(x) = ax4+ 2x，得 1= a+ 2，解 =- ( )=- 4+ 变式5 点P是 f(x) = (x+ 1) 2上任意一点，则点P 得 a 1，故 f x x 2x， 由 f x =-4x3+ 2，所以点A处切线的斜率为 f 1 =-4+ 2= 到直线 y= x- 1的最短距离是 ，此时点P -2， 的坐标为 ． 故所求的切线方程为 y- 1=-2(x- 1)，即 2x+ y- 3= 0． 答案　 7 2 　 - 18 2 ， 1 4 变式2 曲线 f x = 2 x+ex 在点 0, f 0 处的 解析　与直线 y= x- 1平行的 f(x) = (x+ 1)2的切线的切点到直 切线方程为 4x-y+2=0 . 线 y= x- 1的距离最短． 1 1 【解析】因为 f x = 2 x+ex ，所以 f x = 2 1+ex ， 设切点为 (x0，y0)，则 f ′ (x0) = 2(x0+ 1) = 1，∴ x0=- 2 ，y0= 4 . 所以所求切线的斜率为 f 0 = 4，又 f 0 = 2， - 1 - 11 1 2 4 -1 所以所求的切线方程为 y- 2= 4x，即 4x- y+ 2= 0． 即P - 2 ，4 到直线 y= x- 1的距离最短．∴ d= =(-1)2+12 变式3 函数 f( 7 ... ...