河北省唐山市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

河北省唐山市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 一、单选题 1．已知圆，则下列各点在圆上的是（ ） A． B． C． D． 2．在等比数列中，，则的公比为（ ） A．4 B．2 C． D． 3．在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（ ） A．6 B．9 C．14 D．18 4．已知圆与，则两圆公切线的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．设椭圆的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．若三棱锥的所有棱长都相等，则与所成的角为（ ） A． B． C． D． 7．唐山市科技馆以“探索、创新、梦想、共享”为主题向社会大众免费开放，其中有一个“声聚焦装置”，通过两个大的抛物镜，演示声音的反射和聚焦过程.如图（1）所示：这两个抛物镜与轴截面的交线为抛物线，两个抛物镜相距.小红站在其中一个金属圆环处说话，小明在另一个金属圆环处就会听到相应的声音.如图（2），已知抛物镜的口径（直径）为，深度为，则金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为（ ） A． B．0 C． D． 8．数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线的方程为，则下列选项正确的有（ ） A．的斜率为 B．的一个方向向量为 C．在轴上的截距为5 D．在轴上的截距为5 10．记等差数列和等比数列的前项和分别是和，已知，，则下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 11．已知椭圆的左，右焦点分别为为上一点，则（ ） A． B．存在点使得 C．内切圆半径的最大值为 D．的取值范围为 三、填空题 12．直线与圆交于两点，则 . 13．若等比数列的前2项和为96，前4项和为120，则其前6项和为 . 14．已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，若，则 . 四、解答题 15．已知圆经过点，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)过点作的切线，求的方程. 16．如图，已知棱长为1的正方体. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求平面与平面的距离. 17．已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 18．如图，在平行六面体中，所有棱长均为2，且. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 19．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 参考答案 1．C 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 2．B 【详解】因为数列为等比数列，所以， 因为，所以， 因为，所以，即， 所以的公比为. 故选：B 3．A 【详解】由得，即， 所以. 故选：A. 4．C 【详解】由题可得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径， 且，所以两圆外切，所以两圆的公切线为3条. 故选：C. 5．C 【详解】若，则， 所以， 可得，所以椭圆的离心率为. 故选：C. 6．D 【详解】如图所示，取中点，连接，， 因为三棱锥各条棱长均相等，所以，， 因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以，即与所成的角是. 故选：D. 7．A 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则设抛物线方程为：， 因为在抛物线上， 所以，解得， 则， 即金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为， 故选：A 8．B 【详解】因为，所以， 所以，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 由恒成立，得恒成立， 令，由于，显然关于单调递增， 所以当时，，所以. 故选：B. 9．ABC 【详解】对于A，直线的方程为，即， 所以直线的斜率为，A正确； 对于B，根据直线的斜率，可以确定为直线 ... ...