5.7 三角函数的应用（分层作业）（含解析）高一数学同步培优备课学案（人教A版2019必修第一册）

中小学教育资源及组卷应用平台 5.7 三角函数的应用 知识点1 三角函数在物理中的应用 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（ ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【解析】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以. 因为，所以时， ，所以. 将代入得，.故选：D. 2．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【解析】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（）， 且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 3．（24-25高一下·山东临沂·期中）（多选）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（ ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 【答案】ACD 【解析】在函数中，，则周期，所以A选项正确. 在函数中，初相，所以B选项错误. 对于正弦函数，表示振子离开平衡位置的最大距离. 在函数中，，则振子离开平衡位置的最大距离是，所以C选项正确. 振子到达平衡位置时，，即，则（）. 解这个方程可得： ， 因为，当时，，所以当时，振子第一次到达平衡位置，D选项正确. 故选：ACD. 4．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【答案】(1)，2；(2)图象见解析；(3)5 【解析】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 0 4 2 0 －2 0 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 知识点2 三角函数在生活中的应用 1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】4；6 【解析】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6 2．（24-25高一下·上海·月考）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 【答案】 【解析】由函数， 因为，可得， 所以，可得， 所以，即， 又由函数 ... ...