28.2过三点的圆 （30分提至70分使用） 1. 过三点的圆的定义 经过不在同一条直线上的三个点可以确定一个唯一的圆。 2. 确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆：给定不在同一直线上的三个点 ( A )、( B )、( C )，存在且仅存在一个圆经过这三个点。 在同一直线上的三点不能确定圆：若三点在同一条直线上，则不存在同时经过这三个点的圆。 3. 三角形的外接圆与外心 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 外心的性质：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，即外心到 ( A )、( B )、( C ) 的距离 ( OA = OB = OC )（( O ) 为外心）。 4. 过三点作圆的方法（尺规作图步骤） 连接不在同一直线上的三点 ( A )、( B )、( C )，得到三角形 ( ABC )。 分别作边 ( AB ) 和边 ( AC ) 的垂直平分线和。 设与的交点为 ( O )，则 ( O ) 为所求圆的圆心。 以 ( O ) 为圆心，以 ( OA )（或 ( OB )、( OC )）为半径作圆，此圆即为经过 ( A )、( B )、( C ) 三点的圆。 5. 外心的位置与三角形的类型关系 锐角三角形：外心在三角形内部。 直角三角形：外心在斜边的中点处。 钝角三角形：外心在三角形外部。 判断确定圆的条件及个数 1．下列条件中，只能确定一个圆的是（ ） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据过不在同一直线上的三点能确定一个圆进行判断后即可． 【详解】A．过定点A可以画无数个圆，故不符合题意； B．过定点A、B，且半径为R，设A、B两点间的距离为d，当半径时，可以作两个圆；当半径时，可以作一个圆；当半径时，无法作圆．因此该条件不能唯一确定一个圆，不符合题意； C．过不在同一直线上的三点能确定一个圆，故符合题意； D．过不在同一直线上的四点不一定能画出一个圆，故不符合题意． 故选C． 2．下列条件中，能确定一个圆的是（ ） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关概念． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 3．已知，则过点，，且半径为的圆有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查了圆的几何性质，过两点、的圆的圆心必在线段的垂直平分线上，且到、的距离等于半径，据此即可求解． 【详解】解：∵半径为的圆的直径为， ∴过点，，且半径为的圆没有 故选：A． 4．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 5．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（ ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项 ... ...
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