2025-2026学年人教A版数学必修第一册 2.2.1基本不等式 课后达标（含答案）

2.2.1基本不等式 一．选择题 1．若x>0，y>0，且x＋y＝1，则xy的最大值是(　　) A． B． C． D．1 2．已知正数a，b满足ab＝1，则 (a＋1)2＋(b＋1)2的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．16 3．(多选)若对于任意x>0，≤a恒成立，则实数a的值可以是(　　) A． B． C． D． 4．(多选)已知a＞1，则2a＋的值可以是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 5．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小关系是(　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 6．(多选)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式不一定恒成立的是(　　) A．＞ B．＋≤1 C．≥2 D．≤ 7．(数学文化)《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)是后世数学家处理问题的重要依据．通过这一方法，很多的代数的公理或定理都能够利用图形进行证明．如图，AB为半圆O的直径；在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连接OD，作CE⊥OD交OD于点E.由CD≥DE可以直接证明的不等式为(　　) A．≥(a>0，b>0) B．≥(a>0，b>0) C．≥(a>0，b>0) D．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) 8．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 B　解析：令a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，得a＝1，即a＝1时，等号成立． 二．填空题 9．若0a，关于x的不等式2x＋≥5恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. 三，解答题 12．已知x>0，y>0，xy＝4，求＋的最小值． 13．(1)已知01) 的最小值； (3)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值． 2.2.1基本不等式 一．选择题 1．若x>0，y>0，且x＋y＝1，则xy的最大值是(　　) A． B． C． D．1 B　解析：由x＋y＝1≥2，解得xy≤，当且仅当x＝y＝时，等号成立．故选B． 2．已知正数a，b满足ab＝1，则 (a＋1)2＋(b＋1)2的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．16 C　解析：因为a2＋b2＋2(a＋b)＋2≥2ab＋4＋2＝8，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以(a＋1)2＋(b＋1)2的最小值为8.故选C． 3．(多选)若对于任意x>0，≤a恒成立，则实数a的值可以是(　　) A． B． C． D． ACD　解析：因为x>0，所以＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立． 由任意x>0，≤a恒成立，得a≥， 符合条件有，，，故 A，C，D正确；<，故B错误．故选 ACD． 4．(多选)已知a＞1，则2a＋的值可以是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 BCD　解析：因为a＞1，所以a－1＞0. 2a＋＝2＋2(a－1)＋≥2＋2＝6， 当且仅当2(a－1)＝，即a＝2时，等号成立， 故2a＋的最小值为6. 所以2a＋的取值可以是6，也可以是7或8. 5．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小关系是(　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P B　解析：显然＞.由题易知P>0，M>0，M2－P2＝a＋b－＝(a＋b)＝(a＋b)·. 因为00，所以a＋b＞，即＜. 所以＞＞， 即M＞P＞Q. 6．(多选)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式不一定恒成立的是(　　) A．＞ B．＋≤1 C．≥2 D．≤ ABC　解析：由a＋b＝4，可得≤2，得ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以≥，故A，C不一定恒成立； B中，＋＝＝≥1，故B不一定恒成立； 由≥2，得a2＋b2≥2×2＝8，所以≤，D一定恒成立． 7．(数学文化)《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)是后世数学家处理问题的重要依据．通过这一方法，很多的代数的公理或定理都能够利用图形进行证明．如图，AB为半圆O的直径；在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交半圆 ... ...