2025-2026学年上海莘庄中学高二上学期数学期中试卷及答案（2025.11）（含答案）

莘庄中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期中 2025.11 一、填空题（第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.“一个点和一条直线确定一个平面”是_____命题（填“真”、“假”） 2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是_____． 3.直线的倾斜角为_____． 4.如图，已知长方体的棱长，，则点到棱的距离是_____cm． 5.已知是三角形所在平面外一点，且，则点在平面上的射影是三角形的_____心． 6.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，则四棱锥的体积为_____． 7.已知三点不共线，点不在平面内，，若四点共面，则的最大值为_____． 8.已知圆锥的侧面积为，高为，设圆锥的顶点为，点均在底面圆周上，则面积的最大值为_____． 9.如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为_____． 10.如图，已知三棱柱的体积为4，分别为侧棱，，上的点，且，则_____． 11.下列选项中，正确的是_____． ①若两条不同直线的方向向量为，，则 ②若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 ③若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 ④若空间向量共面，则存在不全为0的实数使 12.正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是_____． 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 14.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A.若，，则 B.若，，，则 C.若，，则 D.若，，，，则 15.某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 16.在正方体中，点分别是线段，上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有，则下列结论正确的是（ ） A.①②均正确 B.①②均不正确 C.①正确，②不正确 D.①不正确，②正确 三、解答题（本大题共5题，共分） 17.如图，长方体中，，，点为的中点， （1）求证：直线平面； （2）求点D到平面PAC的距离． 18.已知直线和直线，其中为实数． （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 19.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm． （1）求石凳的体积； （2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元） 20.如图，在菱形中，，与相交于点，平面，，． （1）求证：平面； （2）当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证：； （3）在（2）的条件下，求异面直线与所成的余弦值． 21.如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的正切值为，求的值； （3）点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值． 参考答案 一、填空题 1.假； 2.； 3.； 4.； 5.外； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.①②④； 12.； 11.下列选项中，正确的是_____． ①若两条不同直线的方向向量为，，则 ②若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 ③若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 ④若空间向量共面，则存在不全为0的实数使 【答案】①②④ 【解析】对于①：两条不同直线的方向向量为，则与等价， 即，故①正确； 对于②：已知是空间向量的一组基底，且， 则，故 设点为的中点，整理得，所以， 所以点在平面内，且点为的重心，故②正确； 对于③：由于是空间向量的一组基底，且， 故不是空间向量的一组基底，故③错误； 对于④：由空间向量共面定理 ... ...