13.2命题与证明（基础篇）讲义 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

13.2命题与证明 （30分提至70分使用） 命题的概念与结构 命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题。 命题的特征： 必须是一个完整的语句。 必须对某件事情作出明确的判断（肯定或否定）。 命题的组成： 题设（条件）：命题中已知的事项，通常以“如果……”的形式出现。 结论：命题中由已知事项推出的事项，通常以“那么……”的形式出现。 一般形式：如果( p )，那么( q )（其中( p )是题设，( q )是结论）。 真命题与假命题： 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立的命题（只需举出一个反例即可说明）。 证明的含义与必要性 证明的定义：根据题设、公理、已证定理以及已知条件，通过逻辑推理，来判断一个命题是否正确的推理过程。 证明的必要性： 对于一些命题，其正确性不是显而易见的，需要通过证明来确认。 证明是判断命题真假的可靠方法，能确保结论的严密性。 证明的一般步骤 审题：分清命题的题设（已知条件）和结论。 根据题意画图：画出符合题意的图形，图形要具有一般性，避免特殊化。 写出“已知”和“求证”： 已知：将命题的题设转化为几何符号语言，写在“已知”后面。 求证：将命题的结论转化为几何符号语言，写在“求证”后面。 探索证明思路：从已知条件出发，结合所学公理、定理等，逐步推出求证的结论（执因索果）；或从结论出发，寻找使结论成立所需的条件（执果索因）。 写出证明过程： 证明过程要步步有据，每一步推理都要有依据（已知、公理、定义、定理等）。 通常用“∵”（因为）引出条件，用“∴”（所以）引出结论，并在每一步结论后注明依据。 反证法（一种特殊的证明方法） 反证法的定义：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。 反证法的一般步骤： 假设：假设命题的结论不成立（即假设结论的反面成立）。 归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知条件、公理、定理或定义等相矛盾的结果。 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。 判断命题真假 1．对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．下列命题中，真命题是（ ） A．同角的余角相等 B．同位角相等 C．一个正数的平方根总是正数 D．如果两角相等，那么这两个角是对顶角 3．下列命题中是假命题的是（ ） A．同旁内角互补 B．邻补角是互补的角 C．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若，，则 D．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若，，则 4．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，内错角相等 5．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 写出命题的题设和结论 6．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（ ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 7．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（ ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 8．命题“两个锐角相等”的条件是（ ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 9．对命题“同位角相等”的描述正确的是（ ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 10．下列关于命题“互为补角的两个角相等”的判断正确的有（ ）． ①该命题可以写成“如 ... ...