15.4等腰三角形（基础篇）讲义 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

15.4等腰三角形 （30分提至70分使用） 等腰三角形的定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 若在中，，则。 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。 若在中，，AD是顶角的平分线，则AD也是底边BC上的中线和高，即，AD⊥ BC。 对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。 等腰三角形的判定 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 若在中，，则。 等边三角形（特殊的等腰三角形） 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。 性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于。 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，每条边上的中线、高和所对角的平分线都重合。 判定： 三边都相等的三角形是等边三角形。 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 等边对等角 1．在中，，则（ ）度 A．80 B．60 C．50 D．50或80 2．如图，为等腰三角形，，是延长线上的一点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．等腰三角形一个角是，则它的顶角的度数是（ ） A． B． C．或 D．或 4．在中，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．如图，，点D在上，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 三线合一 6．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边贴在横梁上），在这把三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，若线绳恰好经过三角尺的直角顶点，则可以判断横梁是水平的，能解释这一现象的数学知识是（ ） A．垂线段最短 B．三角形具有稳定性 C．等腰三角形“三线合一” D．等边对等角 7．如图，在中，，，若，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．如图，在中，，，D为边上一点，连接，且，若，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 9．如图，，D是的中点，于点．则是（ ） A． B． C． D． 10．如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（　　） A． B． C． D． 等角对等边 11．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 12．如图，中，，，平分交于，于E，且，则等于（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 13．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 14．如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，，则的距离为（ ） A．8海里 B．海里 C．7海里 D．海里 15．如图,中，角平分线交于交于E，若， ，则等于( ) A． B． C． D． 含30度角的直角三角形 16．已知中，，，，则的值为（） A．5 B．8 C．10 D．以上都不对 17．如图，在中，，，，交于点D．若，则的长为（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 18．如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 19．如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 20．如图，是等边三角形，是边上一点，于点，若，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 等腰三角形的性质和判定综合 21．如图，在中，，．请将这个三角形分成两个等腰三角形． 22．如图，点在线段的垂直平分线上，．求证：． 23．已知：如图，平分．求证：为等腰三角形． 24．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； ( ... ...