河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二上学期12月测试（一）数学试题（含答案）

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二上期12月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在空间直角坐标系中，已知三点共线，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．曲线与曲线有共同的（ ） A．长轴长 B．短轴长 C．离心率 D．焦距 3．已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（ ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆外切，切点为，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．山西陶寺遗址是中国新石器时代晚期的重要都城遗址，其考古发现的祭祀区中有一处近似椭圆的小型夯土基地，经测量，该基址的长轴长为20米，短轴长为16米，现计划在椭圆中心建立原点，长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若在椭圆基址的边缘某处点（即点在椭圆上），搭建一个临时观测台，则点到椭圆左焦点的距离的最大值为（ ） A．12 B．16 C．18 D．20 6．设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 7．已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中正确的是（ ） A．若空间向量，，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 10．已知等差数列满足，，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ） A． B．是递增数列 C． D．使得的的最小值为14 11．如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（ ） A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为3 C．若，则的最小值为 D．若，则点到的距离的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在等差数列中，若，，则的值为 . 13．已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点且与椭圆相切的直线方程为 . 14．已知点在圆上，点为平面内一定点，点为与中垂线的交点，则从下面3个条件任选一个，将其所选序号和对应点的轨迹填入横线处 ． ①点在圆外；②点在圆内（除圆心外）；③点与圆心重合． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 16．（15分）已知直线与抛物线交于两点，. (1)求； (2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积. 17．（15分）在等差数列中，，． (1)求通项公式及其前项和的最小值； (2)若数列为等比数列，且，，求的前项和． 18．（17分）如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. (1)求证：； (2)若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19．（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标 ... ...