5.3.2 函数的极值与最大（小）值 （利用导数求函数的极值、最值）复习学案 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（pdf版）

第 2课时 利用导数求函数的极值极值 壹 利用导数法求极值 1.极小值：函数 y= f(x)在点 x= a的函数值 f(a)比它在点 x= a附近其他点的函数值都小，f ′ (a) = 0；而且在点 x= a附近的左侧 f ′ (x)< 0，右侧 f ′ (x)> 0，则点 a叫做函数 y= f(x)的极小值点，f(a)叫做 函数 y= f(x)的极小值． 先↗后↘极大值点 先↘后↗极小值点 2.极大值：函数 y= f(x)在点 x= b的函数值 f(b)比它在点 x= b附近其他点的函数值都大，f ′ (b) = 0；而且在点 x= b附近的左侧 f ′ (x) > 0，右侧 f ′ (x) < 0，则点 b叫做函数 y= f(x)的极大值点，f(b)叫做 函数 y= f(x)的极大值． 3.从导函数的角度看 y= f '(x) y= f '(x) + + - - 左+右-极小值点 左-右+极大值点 ①极值点就是导函数的变号零，点，这是一句需要刻在脑门上的话，经常会用到. ②变号零点：经过这个零点时，函数的值变号，由正转负或由负转正. ③若 x0为 f′ (x)的变号零点，则 x0是 f(x)的极值点，f x0 是 f(x)的极值. 例题分析 例求函数 f(x) = x3- 3x2- 9x+ 5的极值： y 解 f′ (x) = 3x2- 6x- 9，令 f′ (x) = 0， 利用导数求函数极值的步骤如下： 即 3x2- 6x- 9= 0，解得 x1=-1，x2= 3. -1 3 x f '( )的图象 1.求函数 fx x 的定义域； 当 x变化时，f(x)，f′ (x)的变化情况如下表： 2.求导； x (-∞，-1) -1 (-1 , 3) 3 (3，+∞) 3.解方程 f x0 = 0，当 f x0 = 0； f′ (x) + 0 - 0 + 4.列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在 x 附近的左侧 f f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 0 x < 0，右 侧 f x > 0，那么 f x0 是极小值； ∴当 x=-1时，函数 y= f(x)有极大值，且 f(-1) = 10； ②如果在 x0附近的左侧 f x > 0，右 当 x= 3时，函数 y= f(x)有极小值，且 f(3) =-22. 侧 f x < 0，那么 f x0 是极大值 变式1 求函数 f(x) = (x2- 1)3+ 1的极值 解　 (1)f ′ (x) = 6x(x2- 1)2= 6x(x+ 1)2(x- 1)2. 令 f ′ (x) = 0，解得 x1=-1，x2= 0，x3= 1. 当 x变化时，f ′ (x)，f(x)的变化情况如下表： x (-∞,-1) -1 (-1 , 0) 0 (0 , 1) 1 (1,+∞) f ′ (x) - 0 - 0 + 0 + lnx f(x) ↘ 无极值 ↘ 极小值 ↗ 无极值 ↗ 变式2 求 f(x) = x 的极值，并画出函数的草 ∴当 x= 0时，f(x)有极小值且 f(x)极小值= 0. 图 函数的草图如图所示． 1 解：函数 f(x) = lnxx 的定义域为 (0，+∞)，且 f ′ (x) = 1-lnx . x2 (1)求 a , b的值； 令 f ′ (x) = 0，解得 x= e. (2)求 f(x)的极值. 当 x变化时，f ′ (x)与 f(x)的变化情况如下表： 【答案】(1)a=-1，b= 3 ; (2)极大值为- 34 + 3ln 3 2 ，无极小值. x (0，e) e (e，+∞) 【解析】(1)由 f(x) = x+ ax2+ blnx，得 f (x) = 1+ 2ax+ b f ′ (x) + 0 - x ， ∵ f(x)的图象在点P(1 , f(1))处的切线方程为 y= 2x- 2， f(x) 单调递增 1 单调递减 f e (1)=1+2a+b=2 a=-1所以 ，解得 ，所以 a=-1 , b= 3.f(1)=1+a=2×1-2=0 b=3 因此，x= e是函数的极大值点，极大值为 f(e) = 1e ，没有极小值． (2)由 (1)可得 f(x) = x- x2+ 3lnx x>0 ， 函数的草图如图所示． 2 -2x+3 x+1 则 f x = 1- 2x+ 3 = -2x +x+3 x x = x ， 则 f(x)与 f (x)随着 x的变化情况如下表. x 0, 3 3 32 2 2 ,+∞ f ′ (x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 2 变式3 函数 f(x) = x+ ax2+ blnx的图象在点P 由表可知，函数 f(x)的极大值为 f 3 2 = 3 2 - 3 2 + 3ln 3 2 = 3 3 (1 , f(1))处的切线方程为 y= 2x- 2. - 4 + 3ln 2 ，无极小值. 贰 已知极值求解析式 例题分析 例若函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ a2在 x= 1处取得极值 10，则 a=_____，b=_____. 解 f′ (x) = 3x2+ 2ax+ b， f(1)=10， a2+a+b=9，依题意得 即 解得 a=4， a=-3， x=1处取得极值和 f '(1)=0 ′( )= + =- =- 或 不是等价关系f 1 0 ... ...