湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 3．设、是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（ ） A． B． C．2 D．4 5．已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为，常数项为，则的值为 A． B． C． D． 6．已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝（ ） A．1 B．5 C． D． 7．已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．在三棱台中，截面与底面平行，若，且三棱台的体积为1，则三棱台的体积为（ ） A．5 B．8 C．9 D．10 二、多选题 9．给出下列命题，其中正确命题是（ ） A．若样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，则样本数据，，…，的平均数为3 B．随机变量的方差为，则 C．随机变量服从正态分布，，则 D．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，用表示出现正面向上的次数，则 10．对于实数a，b，m，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 11．方程所表示的曲线（ ） A．关于原点对称 B．关于直线对称 C．与直线没有交点 D．不经过第三象限 三、填空题 12．若，则 ． 13．如图，在正方体中，点M，N分别为棱上的动点（包含端点），则下列说法正确的是 ． ①当M为棱的中点时，则在棱上存在点N使得； ②当M，N分别为棱的中点时，则在正方体中存在棱与平面平行； ③当M，N分别为棱的中点时，则过，M，N三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④若正方体的棱长为2，则三棱锥的体积可能为1； ⑤直线与平面所成角的正切值的最小值为． 14．数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有 个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为 . 四、解答题 15．已知三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，侧棱底面ABC，，E为的中点. （1）若G为的中点，求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 16．计算： （1）已知，求的值. （2）求的值. 17．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知， (1)求抛物线的方程及的值； (2)当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标； (3)满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，. 18．已知函数和. (1)若函数在点处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值； (2)当时，证明：的图象恒在的图象的下方. 19．在集合中，任取个元素构成集合. 若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；若的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为. 令 (1)当 时，求的值； (2)求. 参考答案 1．A 2．D 3．D 4．A 5．C 6．D 7．A 8．B 9．BCD 10．ACD 11．BCD 12．/ 13．①③④⑤ 14． 240 15．（1）连接，如图， 底面，底面， 底面，① 为正边的中点，② 由①②及， 平面. （2）， . 取的中点，连接， 则， 平面，即为高. . 三棱锥的体积 . 16．（1）． =． （2） 17．（1）由题意，解得，因此抛物线的方程为 点在抛物线上可得，故 （2）设点的坐标为边上的高为，我们知道的面积是：， 所以，， 直线的方程是，利用到直线的距离公式可得：， 化简得：，由于点在抛物线上，即， ... ...
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