第二章 一元二次函数、方程和不等式 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.[2025广州六中高一月考改编]不等式-x2-3x<-4的解集为( ) A.{x|-4
1} D.{x|x<-1或x>4} 1.C 把原不等式两边同时乘以-1,把二次项系数化为正值,因式分解后可求得一元二次不等式的解集.由-x2-3x<-4得x2+3x-4>0,即(x+4)(x-1)>0,解得x<-4或x>1,所以不等式-x2-3x<-4的解集为{x|x<-4或x>1}. 2.[2025常州高级中学高一期中]已知x>0,则x-1+的最小值为( ) A.3 B.2 C.5 D.4 2.A 当x>0时,x-1+≥2-1=3,当且仅当x=2时取等号,所以x-1+的最小值为3. 3.[2025辽宁省实验中学高一期末]已知a,b均为正实数,若M=a3+b3,N=a2b+ab2,则( ) A.MN D.M≥N 3.D 利用作差法比较大小即可得结果.由a,b均为正实数,M=a3+b3,N=a2b+ab2,得M-N=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)≥0,当且仅当a=b时取等号,所以M≥N. 4.[2025重庆八中测试]已知a>0,b>0,则“a2+b2≥2”是“ab≥1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.B 若a>0,b>0,取a=2,b=,满足a2+b2≥2,而ab=<1,故充分性不成立;由a>0,b>0,ab≥1,得a2+b2≥2ab≥2,故必要性成立.因此“a2+b2≥2”是“ab≥1”的必要不充分条件. 5.[2025苏州中学高一期末]若命题“ x∈R,x2-x+m≥0”是假命题,则实数m的取值范围是( ) A.{m|m≤} B.{m|m<} C.{m|m>} D.{m|m≥} 5.B 因为命题“ x∈R,x2-x+m≥0”是假命题,所以“ x∈R,x2-x+m<0”是真命题(原命题与其否定真假性相反). 方法一 因此Δ=1-4m>0,所以m<,即实数m的取值范围是{m|m<}. 方法二 所以m<-x2+x有解,则m<(-x2+x)max,又-x2+x=-(x-)2+≤,所以m<,即实数m的取值范围是{m|m<}. 6.[2024南山中学模拟]若实数x,y满足4x2+y2-xy=3,则4x2+y2的最大值为( ) A. B.8 C.3 D.4 6.D 4x2+y2=3+xy=3+·2x·y≤3+×,所以(4x2+y2)≤3,解得4x2+y2≤4,当且仅当2x=y,即x=,y=或x=-,y=-时,等号成立,所以4x2+y2的最大值为4. 7.[2025宁都中学高一月考改编]某企业研发部原有80人,年人均投入a(a>0)万元,为了优化内部结构,现把研发部人员分为两类:技术人员和研发人员,其中技术人员有x名(x∈N*且45≤x≤75),调整后,研发人员的年人均投入增加4x%.要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入,则优化结构调整后的技术人员的人数x的取值范围为( ) A.45≤x≤55(x∈N*) B.45≤x≤75(x∈N*) C.50≤x≤55(x∈N*) D.50≤x≤75(x∈N*) 7.A 依题意得,调整后研发人员人数为80-x,年人均投入为(1+4x%)a万元,则有(80-x)(1+4x%)a≥80a(a>0),解得0≤x≤55.因为45≤x≤75,且x∈N*,所以45≤x≤55(x∈N*). 8.[2024同济大学二附中高一期中]设0(ax)2的解集中的整数解恰有3个,则实数a的取值范围是( ) A.{a|-1(ax)2,可得(a2-1)x2+2bx-b2<0,由题意可知,不等式(a2-1)x2+2bx-b2<0的解集在方程(a2-1)x2+2bx-b2=0的两根之间,则a2-1>0,又因为01,Δ=4b2+4b2(a2-1)=4a2b2>0.解不等式(a2-1)x2+2bx-b2<0可得-1,0