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课件网) 第七章 万有引力与宇宙航行 培优帮丨章末总结 例1 (2025·西安交通大学附属中学月考)如图7-1，质量分别为和的两个星球和 在引力作用下都绕点做匀速圆周运动，星球和的中心连线之间的距离为 。已知 、的中心和点始终共线，和分别在点的两侧。引力常量为 。 图7-1 （1）求两星球做圆周运动的周期。 【答案】 【解析】设星球做圆周运动的半径为，星球做圆周运动的半径为。和绕 点 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，和 有相同的角速度和周期， 因此有, 联立解得, 对 ，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 化简得 。 （2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球分别看成上述星球 和，月球绕其轨道中心运行的周期记为 。但在近似处理问题时，常常认为月球 是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为 。已知地球和月球的质量分别为 和。求与 的平方之比。（结果保留三位小数） 【答案】1.012 【解析】将地月系统看成双星系统，由（1）得 将月球的运动看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 化简得 故 。 例2 (2025·南昌大学附属中学期中，多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系 统，其中有一种三星系统如图 7-2所示，三颗质量均为 的星体位于等边三角形的 三个顶点，三角形边长为 ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕 三角形中心做匀速圆周运动，引力常量为 ，则( ) ABC 图7-2 A.每颗星体做匀速圆周运动的线速度为 B.每颗星体做匀速圆周运动的角速度为 C.每颗星体做匀速圆周运动的周期为 D.每颗星体做匀速圆周运动的加速度与三星的质量无关 【解析】由题图可知，每颗星体做匀速圆周运动的半径 ，由牛顿第 二定律得，解得 ， ，， ，故A、B、C均正确，D错误。 例3 在天体演变的过程中,红色巨星发生“超新星爆炸”后,可以形成中子星（电子被迫 同原子核中的质子相结合而形成中子）,中子星具有极高的密度。 （1）若已知一颗中子星的密度是 ,该中子星的卫星绕它做圆周运动,求该 中子星的卫星运行的最小周期。 【答案】 【解析】运行周期最小时，卫星绕中子星表面运行，轨道半径为中子星半径，设为 。中子星与卫星间的万有引力充当卫星运动的向心力，即 而 联立解得 。 （2）中子星也在绕自转轴自转,若一颗中子星自转的角速度为 ,为了不因 自转而瓦解,它的密度至少应为多少？（假设中子星是通过中子间的万有引力结合成 的球形星体,引力常量为 ） 【答案】 【解析】中子星自转但没有解体的临界情况是中子星赤道处物体受到的万有引力全 部用来提供向心力，则有 得 则中子星的最小密度 。 例4 地球赤道上有一物体随地球自转，所受的向心力为，向心加速度为 ，线速 度为，角速度为 ；在地球表面附近绕地球做圆周运动的人造地球卫星 （高度忽略），所受的向心力为，向心加速度为，线速度为，角速度为 ； 地球的同步卫星所受的向心力为，向心加速度为，线速度为，角速度为 ； 地球表面的重力加速度为，第一宇宙速度为 。假设三者质量相等，则( ) D A. B. C. D. 会整合 专题归纳 专题 万有引力定律在天文学上的应用 【解析】由题意知，设三者的轨道半径分别为、、，则 ， 对于卫星有，因，所以，故 ，即D项正确；由 ，，可知，对于卫星有，因，所以 ，故 ，，B项错误；由可知 ，A项错误；由 ，，可知，对卫星有，因，所以 ，故 ， ，C项错误。 例5 （中科大自主招生试题）假设地球为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重 力加速度在两极处的大小为，在赤道处的大小为，地球半径为 ，则地球自转的 周期 为_ _____。 【解析】设地球的质量为，地球上某一物体的质量为 ，根据万有引力与重力的 关系，有 ... ...
