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课件网) 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.1 排列 6.2.2 排列数 图解课标要点 教材帮 新知课丨必备知识解读 知识点1 排列 一般地，从个不同元素中取出 个元素，并按照一定的顺序排成一列， 叫做从个不同元素中取出 个元素的一个排列. 两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也 相同.（例如：排列与排列 是不同的排列） . . . . 知识剖析 对排列定义的理解 （1）排列的定义包括三个方面: ①所有元素都不相同； ②取出元素； ③按照一定的顺序排成一列. （2）在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，不考虑顺序就不是排列. （3）一个排列就是完成一件事的一种方法；不同的排列就是完成一件事的不同 方法. 学思用·典例详解 例1-1 判断下列问题是不是排列问题，并说明理由. （1）从1,2,3, ,10这10个正整数中任取两个数组成平面直角坐标系内点的坐标，可 以得到多少个不同的点的坐标？ （2）从1,2,3, ,10这10个正整数中任取两个数组成一个集合，可以得到多少个不同 的集合？ 【解析】对于（1），结果与以哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关， 所以这是排列问题. 对于（2），由于集合中的元素具有无序性，即集合不受所选两个数的排列顺序的影 响，所以这不是排列问题. 知识点2 排列数 1 排列数的定义 我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的排列数，用符号 表示. 2 排列数公式 （ 个数） 这里，，，并且 （解题时注意该隐含条件）.这个公式叫做排列 数公式. 图6.2.1-1 知识剖析 排列数公式的推导 求排列数 可以这样考虑：假设有排 好顺序的个空位（如图6.2.1-1），从 个 不同元素中任取 个元素去填空，一个空 根据分步乘法计数原理，我们可以得到公式： . 位填1个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数 . . . 3 全排列与阶乘 全排 列 我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 个元素的一个全排 列．这时，排列数公式中，即有 . 也就是说，将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到 的连乘积. 阶乘 正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用 表示． 个元素的全排列数公式可以写成 !. 我们规定， . 排列数公式还可以写成 . 知识剖析 1.实际上，较大数的阶乘一定是较小数的阶乘的倍数，如 . 2.排列数公式变形的推导过程： .#1.2.4 学思用·典例详解 例2-2 (2025·广东省广州市第一一三中学月考)从5本不同的书中选出3本分别送给3位 同学，每人一本，则不同的方法数是( ) B A.10 B.60 C.243 D.15 【解析】从5本不同的书中选出3本分别送给3位同学，每人一本，是排列问题. 因此不同的方法数是 . 例2-3 计算： （1） ； 【解析】 ． （2） ； 【解析】 ． （3） . 【解析】原式 ． 例2-4 （1） 可表示为( ) D A. B. C. D. 【解析】 ． （2）设,且,则 可化简为( ) B A. B. C. D. 【解析】最大的数为,最小的数为 ，因式的个数为 ,故原式 . （逆用排列数公式时，先确定连乘式中的最大数和最小数，再确定因式的个数） （3）已知，则 ( ) B A.11 B.12 C.13 D.14 【解析】，，整理得，，解得 或 （不合题意，舍去）. 释疑惑 重难拓展 知识点3 排列数的性质 排列数具有以下性质： 性质①： ; 性质②： . 知识剖析 两个性质的直观解释（推导） 1.性质①是指从个不同元素中取出 个元素进行排列，分两步完成： 第一步，从个元素中选出1个元素排在一个位置上；第二步，从余下的 个元 素中选出个元素排在其他个位置上.由此可得 . 同理，,, . 2.性质②是指从个不同元素中取出 个元素进行排列，用分类的方法解决 此类问题，分两类情况： 第1类，取出的个元素中 ... ...
