(
课件网) 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.3组合 6.2.4组合数 图解课标要点 教材帮 新知课丨必备知识解读 知识点1 组合 1 组合的定义 一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从 个不同元素 中取出 个元素的一个组合. 知识剖析 （1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，取出的 个元素也是不同 的，即从个不同的元素中进行 次不放回地取出. （2）组合的特性：元素的无序性,取出的 个元素不讲究顺序，即元素没有位置 的要求. （3）相同的组合和不同的组合：只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺 序如何，都是相同的组合;如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不 同的组合. 2 排列与组合的异同及区分方法 （1）排列与组合的异同点（【教材链接】此处回答了教材第21页【思考】） 排列 组合 相同点 不同点 与元素的顺序有关. 与元素的顺序无关. （2）排列问题和组合问题的区分方法 排列问 题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选 取的顺序有关. 组合问 题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题 与选取的顺序无关. . . . . 学思用·典例详解 例1-1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题： （1）从10个人里选3人去开会，有多少种选法？ 【解析】从10个人里选3个人即可，不需要考虑顺序，所以是组合问题. （2）从10个人里选出3人担任3个不同学科的课代表，有多少种选法？ 【解析】从10个人里选3个人，这3个人担任3个不同学科的课代表，需要考虑顺序， 所以是排列问题. 例1-2 (2025·广东省清远市第三中学期中)从5个不同的元素，，，， 中取出2个， 写出所有不同的组合. 【解析】 （顺序后移法） 按顺序用如图6.2.3-1所示的方法将各个组合逐个 标出来. 图6.2.3-1 由此可得所有不同的组合为，，，，，，，，， ，共10个. 图6.2.3-2 画出树形图，如图6.2.3-2所示. 由此可得所有不同的组合为,,,,,,,,, . 点评 由于组合与顺序无关，故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出一 个组合后，不可再写出交换位置后的组合，如写出后，不可再写出 ,因为它们是 同一组合. 知识点2 组合数与组合数公式 1 组合数的概念 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同 元素中取出个元素的组合数，（组合数是数，组合不是数）用符号 表示 （组合数还可以用符号 表示）. . . . . 2 组合数公式 与排列数公式一样，组合数公式也有两个. （1）连乘表示： ①，其中, ，并且 . （2）阶乘表示：因为，所以 ②，其中 , ，并且 . 另外，我们规定 . 知识剖析 组合数公式的选用 组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时 会用到. 组合数公式②的主要作用有：（1）计算， 较大时的组合数；（2）对含有字 母的组合数的式子进行变形和证明. 组合数与排列数的关系 求“从个不同元素中取出个元素的排列数 ”,可以看作由以下两个步骤得到： 第1步，从个不同元素中取出个元素作为一组，共有 种不同的取法； 第2步，将取出的个元素作全排列，共有 种不同的排法.根据分步乘法计数 原理，有 . 学思用·典例详解 例2-3 (2025·陕西省西安市期末)6个朋友聚会，每两人握手1次，则一共握手的次数 是( ) B A. B. C. D. 【解析】每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，从6人中取出2人的一个组合就 是一次握手，故一共握手的次数是 . 例2-4 （1）已知，那么 ( ) B A.20 B.30 C.42 D.72 【解析】 （连乘表示） 由，得，解得 或（舍去）,故 . （巧用） 由知， ,故 . （2） ( ) B A.9 B.18 C.28 D.36 【解析】 ． 释疑惑 重难拓展 知识点3 组合数的两个性质 教材深挖：本 ... ...
