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课件网) 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数 课时1 对数函数的概念 自主预习·悟新知 合作探究·提素养 随堂检测·精评价 课后精练·重达标 学习目标 1.通过具体实例,了解对数函数的概念.（数学抽象） 2.会求简单对数函数的定义域.（数学运算） 3.了解对数函数在实际问题中的简单应用.（数学建模） 在指数函数中我们已经知道,若某种放射性物质最初的质量为1,则经过 年,该物质 的剩留量为 . 1.经过多少年这种物质的剩留量为0.5？ [答案] 由,可得 . 2.若经过年,该物质的剩留量为,能用表示 吗？ [答案] 能. . 3.问题2得到的等式中,是 的函数吗？为什么？ [答案] 是,因为这种对应关系符合函数的定义 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1） 由,且,得,所以 .( ) √ （2） 是对数函数.( ) × （3） 若函数是对数函数,则且 .( ) √ （4） 函数的定义域为 .( ) × 2.下列函数为对数函数的是( ). C A.,且 B.,且 C.,且 D.,且 [解析] 根据对数函数的定义可知C是对数函数 3.函数 的定义域是( ). C A. B. C. D. [解析] 由,得 . 4.已知对数函数的图象过点,,则 ___. [解析] 设对数函数,且,由可知,, , , . 探究1 对数函数的概念 问题1: 已知函数,那么反过来,是否为关于 的函数？ [答] 因为是单调函数,所以对于任意，都有唯一确定的 与之对应, 故也是关于的函数,其函数关系式是,此处.习惯上用, 分别表 示自变量、因变量.上式可改为, . 同样地，根据指数与对数的关系，由y=ax (a>0, 且a≠1)可以得到 x=logay (a>0, 且a≠1),x也是y的函数. 通常我们用x表示自变量，y表示函数. 为此将x=logay (a>0, 且a≠1)中的字母x和y对调，写成y=logax (a>0, 且a≠1). 一般地,函数_____叫作对数函数,其中___是自变量,函数的定 义域是_____. ,且 特别提醒:（1）对数函数的概念与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别. （2）由指数式与对数式的关系知,对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值 , 所以对数函数的定义域是 . （3）对数函数对底数的限制:,且 . ①a>0，且a≠1；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1. 如, 都不是对数函数,可称其为对数型函数. 一、对数函数的概念及应用 例1 给出下列函数:;,且; ; ;,且; . 其中是对数函数的是( ). D A.③④⑤ B.②④⑥ C.①③⑤⑥ D.③⑥ [解] ①中,对数式后面加1,所以不是对数函数;②和④中,真数不是自变量 ,所以不是 对数函数;③和⑥符合对数函数概念的三个特征,是对数函数;⑤中,底数是自变量 ,而非 常数,且,所以不是对数函数.故③⑥是对数函数 方法总结 判断一个函数是否为对数函数的方法 对数函数必须是
,且
的形式,即必须满足以下条件: （1）对数式系数为1; （2）底数为大于0且不等于1的常数; （3）对数的真数仅有自变量
. 二、对数函数模型的应用 例2 森林具有净化空气的功能,经研究发现,森林净化的空气质量与森林面积 的关系 是,且当森林面积为40个单位时,森林净化的空气质量 为100个单位. （1）求 的值. （2）当某森林面积为320个单位时,它能净化的空气质量为多少个单位 [解] （1）由题意知,解得 . （2）把代入,得 , 所以当某森林面积为320个单位时,它能净化的空气质量为250个单位 方法总结 在实际问题中,要准确建立函数模型,计算时应充分利用对数的运算性质,注意变量 的实际意义. 巩固训练1 若函数是对数函数，则 ( ). C A.1或2 B.1 C.2 D.且 [解析] 函数 是对数函数， ，解得或.又且， . 巩固训练2 某种水稻害虫数量的日增长率为，最初发现时约有 只，则达到最初 数量的250倍，大约需要经过( ).（参考数据:， ， ， ） A A.141天 B.132天 C.120天 D.112天 [解析] 设大约需要经过天，依题意，，则 ... ...
