微练(十三) 空间向量与空间角 班级： 姓名： 1．(2025·兰州一模)已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1底面边长为3，点E，F分别在直线AD，CD上，BE＝，DF＝1. (1)证明：AC∥平面B1EF； (2)若三棱锥B1 BEF的体积为，求直线BB1与平面B1EF所成角的正弦值. 2．(2025·济宁一模)底面为菱形的四棱锥P ABCD中，AC与BD交于点O，平面PBD⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD. (1)证明：PO⊥平面ABCD； (2)若OA＝2OD＝2，直线DC与平面PBC所成角的正弦值为，求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值． 3．(2024·新课标Ⅱ卷)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足＝，＝.将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4. (1)证明：EF⊥PD； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 4．(2025·天津一模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝∠PDC＝，且AD＝PD＝2QA＝2. (1)求证：QB∥平面PDC； (2)求平面CPB与平面PBQ所成角的大小； (3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，试确定点H的位置． 微练(十三) 空间向量与空间角 1．解 (1)证明：因为AE＝＝＝2，所以DE＝1，因为DF＝1，所以＝＝，所以AC∥EF，AC 平面B1EF，EF 平面B1EF，所以AC∥平面B1EF. (2)如图所示：以D为原点，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．则三棱锥B1 BEF的体积V＝S△BEF·DD1＝××DD1＝，解得DD1＝3，则B(3，3，0)，B1(3，3，3)，E(1，0，0)，F(0，1，0)，＝(0，0，3)，＝(2，3，3)，＝(－1，1，0).设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则可取n＝(3，3，－5)，设直线BB1与平面B1EF所成角为θ，则sin θ＝＝＝，所以直线BB1与平面B1EF所成角的正弦值为. 2．解 (1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AC 平面ABCD，所以AC⊥平面PBD，因为PO 平面PBD，所以AC⊥PO，因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，因为PO 平面PAC，所以BD⊥PO，因为AC∩BD＝O，AC，BD 平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD. (2)由(1)知，AC，PO，BD两两垂直，以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，OA＝2OD＝2，则D(0，－1，0)，C(－2，0，0)，B(0，1，0)，＝(－2，1，0)，设P(0，0，t)，t>0，则＝(0，1，－t)，＝(2，1，0)，设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)， 令z＝2得y＝2t，x＝－t，故m＝(－t，2t，2)， 直线DC与平面PBC所成角的正弦值为，即|cos 〈，m〉|＝＝＝，解得t＝1，负值舍去，则m＝(－1，2，2)，平面PAC的一个法向量为n＝(0，1，0)，设平面PAC与平面PBC夹角为θ，cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为. 3．解 (1)证明：由题得，AE＝AD＝2，AF＝AB＝4，又∠BAD＝30°，所以由余弦定理得EF2＝AE2＋AF2－2AE·AF·cos 30°＝4，故EF＝2.又EF2＋AE2＝AF2，所以EF⊥AE.由EF⊥AE及翻折的性质知EF⊥PE，EF⊥ED，又ED∩PE＝E，ED，PE 平面PED，所以EF⊥平面PED.又PD 平面PED，所以EF⊥PD. (2)如图，连接CE，又DE＝3，CD＝3，∠CDE＝90°，故CE＝＝6.又PE＝AE＝2，PC＝4，所以PE2＋CE2＝PC2，故PE⊥CE.又PE⊥EF，CE∩EF＝E，CE，EF 平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.EF，ED，PE两两垂直，故以E为原点，EF，ED，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，D(0，3，0)，F(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(3，3，0)，连接PA，则＝(0，3，－2)，＝(3，0，0)，＝(0，2，2)，＝(2，2，0).设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则可取n1＝(0，2，3).设平面PBF即平面PAF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
