进阶点6　概率、变量分布与其他知识的综合问题（课件 学案 练习）2026届高中数学二轮专题复习

6　　概率、变量分布与其他知识的综合问题 类型一　与数列结合的概率问题——— 　教材·研析 例1　(人教A版选择性必修第三册P91第10题)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率． 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其数学定义为：假设我们的序列状态是X1，…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1时刻的状态的概率仅依赖前一状态Xt，即P(Xt＋1|X1，…，Xt－2，Xt－1，Xt)＝P(Xt＋1|Xt).马尔科夫链模型的本质是下一步的概率仅与上一步的概率有关，解该模型的关键是写出概率的递推公式，利用数学递推公式求出通项公式． 　真题·链接 真题　(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(i)＝i.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y). 　创新·变式 变式1　(2025·河南模拟)张某经营A，B两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去A公司的概率是.如果本月去A公司，那么下个月继续去A公司的概率为；如果本月去B公司，那么下个月去A公司的概率为，如此往复．设张某第n个月去A公司的概率为Pn，则P10＝ (　　) A．＋×(－)9 B．＋×(－)9 C．＋×()10 D．＋×(－)10 变式2　某学校有A，B两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐．已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去A餐厅的条件下，后一天继续选择A餐厅的概率为；而在前一天选择去B餐厅的条件下，后一天继续选择去B餐厅的概率为，如此往复． (1)求该同学第一天和第二天都选择去A餐厅用晚餐的概率； (2)求该同学第二天选择去A餐厅用晚餐的概率； (3)记该同学第n天选择去A餐厅用晚餐的概率为Pn，求{Pn}的通项公式． 类型二　与函数相关的概率问题 例2　为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试)，共有4万名学生参加初试．组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求a的值及样本平均数的估计值； (2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ＝10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； (3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x，答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为p，求概率p的最小值． 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 训练　现有甲、乙两人进行围棋比赛，规则如下：在前四局比赛中，每局比赛获胜者得50分，负者得0分，在第五局比赛中，获胜者得100分，负者得0分；当一方比另一方多100分时，比赛结束，多得100分者获胜．已知每局比赛中，甲获胜的概率为p(0