第2课时 正弦函数、余弦函数的性质 学习目标 育人目标 1.掌握函数y=sin x,y=cos x的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性. 2.利用性质解决比较大小、值域、最值问题. 情感价值:通过函数图象探究函数的基本性质,发展学生的数学归纳能力,提升学生从具体到抽象的活动经验;利用函数性质解决实际问题,进一步提升学生的逻辑思维品质、计算能力. 学科素养:逻辑推理、数学运算 【问题导学】 1.正弦函数在定义域上是增函数,而余弦函数在定义域上是减函数,这种说法对吗 2.如何比较非特殊角的三角函数值的大小 3.求三角函数的值域有哪些方法 【教材认知】 正弦函数、余弦函数的性质 (1)图象与性质 解析式 y=sin x y=cos x 图象 值域 [-1,1] [-1,1] 续表 解析式 y=sin x y=cos x 单调性 在[-+2kπ,+2kπ] (k∈Z)上单调递增,在[+2kπ,+2kπ] (k∈Z)上单调递减 在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增, 在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减 最值 当x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;当x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;当x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 (2)本质:函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质. (3)应用:求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量x的值. 关键能力·师生共研 题型一 正弦函数、余弦函数的单调区间 【典例1】(1)函数y=sin(2x-)的单调递减区间是( ) A.[kπ-,kπ-](k∈Z) B.[kπ-,kπ+](k∈Z) C.[kπ+,kπ+](k∈Z) D.[kπ-,kπ+](k∈Z) 【解析】选C.由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ+π≤x≤kπ+π,k∈Z, 故函数y=sin(2x-)的单调递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z). (2)求函数y=1+sin (-x+),x∈[-4π,4π]的单调递减区间. 【解析】对于函数y=1+sin (-x+)=1-sin (x-),本题即求函数y=sin (x-)的单调递增区间. 令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z. 再结合x∈[-4π,4π],可得函数y=sin (x-)的单调递增区间为[-4π,-], [-,], [,4π],即函数y=1+sin (-x+),x∈[-4π,4π]的单调递减区间为[-4π,-],[-,], [,4π]. (3)已知函数f(x)=2cos ,x∈,求f(x)的单调递增区间. 【解析】f(x)=2cos 可化为f(x)=2cos ,故单调递增区间为 2kπ-π≤3x-≤2kπ,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 令k=0,-≤x≤,令k=1,π≤x≤π. 因为x∈,所以f(x)的单调递增区间是,. 【总结升华】 单调区间的求法 求形如y=Asin (ωx+φ)或y=Acos (ωx+φ)的函数的单调区间时,要先把ω化为正数, (1)当A>0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递增区间. (2)当A<0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递减区间;代入y=sin x或y=cos x的单调递减区间内,可求得函数的单调递增区间. 提醒:求函数y=Asin (ωx+φ)的单调区间时,把ωx+φ看作一个整体,借助y=sin x的单调区间来解决.当A<0或ω<0时,要注意原函数的单调性与y=sin x的单调性的关系. 【即学即练】 1.y=sin 的单调递增区间是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选C.由y=sin (-2x)=-sin 2x,令+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 2.函数f(x)=sin 在上的单调递增区间是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选C.由题知f(x)=-sin ,又因为x∈,所以2x-∈, 令≤2x-≤,解得≤x≤, 所以函数f(x)=sin 在上的单调递增区间是. 3.(2025·无锡一中高一调研)函数y=sin |x|,x∈[-2π,2π]的单调递减区间为 . 【解析】列表 x 0 π 2π y=sin |x| 0 1 0 -1 0 作图:先作出[0,2π]的图象,又原函数是偶函数,图象关于y轴对称,即可作出[-2π,0]的图象. 由图象可知函数y=sin |x|,x∈[-2π,2π]的单调递减区间为[-2π,-],[-,0],[,]. 答案: [-2π,-],[-,0],[,] 题型二 利用正弦函数、余弦函数的 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
