第3章 圆锥曲线的方程 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.椭圆+y2=1(a>1)的离心率为,则a=( ) A. B. C. D.2 2.若抛物线y2=x的焦点与椭圆 =1的左焦点重合,则m的值为( ) A.- B. C.-2 D.2 3.若动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为( ) A.双曲线的一支 B.圆 C.抛物线 D.双曲线 4.已知F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F2(2,0),P为双曲线右支上的一点,且|F1F2|=2|PF2|,△PF1F2的周长为10,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±x 5.已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4 m,外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为3 m,则该椭圆的离心率等于( ) A. B. C. D. 6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点A(3,2)向其准线作垂线,与抛物线交于点E,则|EF|等于( ) A.1 B.2 C. D. 7.若椭圆=1的动弦AB的斜率为1,则弦中点的坐标可能是( ) A.(-3,4) B. C.(-4,3) D. 8.已知过抛物线y2=8x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,点P在线段AB上运动,原点O关于点P的对称点为M,则四边形OAMB的面积的最小值为( ) A.8 B.10 C.14 D.16 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知曲线C的方程为=1,则( ) A.当m=2时,曲线C为圆 B.当m=5时,曲线C为双曲线,其渐近线方程为y=±x C.当m>1时,曲线C为焦点在x轴上的椭圆 D.存在实数m使得曲线C为双曲线,其离心率为 10.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则( ) A.a-c=m+R B.a+c=n+R C.2a=m+n D.b= 11.设抛物线y=ax2的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则( ) A.点P的坐标为 B.直线AB的方程为y= C.PA⊥PB D.|AB|= 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.椭圆=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为 ,此时点P的坐标为 . 13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,定点A(0,-2),若射线FA与抛物线C交于点M,与抛物线C的准线交于点N,则|MN|∶|FN|等于 . 14.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角为α,且cos α=,则双曲线的离心率等于 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2024·全国新高考卷 Ⅰ,16)已知A(0,3)和P(3,)为椭圆C:=1(a>b>0)上两点. (1)求椭圆C的离心率; (2)若过点P的直线l交椭圆C于另一点B,且△ABP的面积为9,求直线l的方程. 16.(15分)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过点F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|. (1)求椭圆C1的离心率; (2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程. 17.(15分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求直线l的方程; (2)若=3,求|AB|. 18.(17分)(2025·高考综合改革适应性演练,18)已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0). (1)求椭圆C的方程; (2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与椭圆C恰有一个公共点; (3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与椭圆C恰有一个公共点,证明点M的轨迹为圆,并求该圆的方程. 19.(17分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点在椭圆C上. (1)求 ... ...
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