1.5.1 等腰三角形的性质与判定（3个知识点+7种题型） 【题型归纳】 【题型1 利用等腰三角形的性质求角】 2 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长】 3 【题型3 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的数量】 4 【题型4 等腰三角形的证明】 6 【题型5 等腰三角形中的新定义问题】 10 【题型6 等腰三角形中的多结论问题】 11 【题型7 等腰三角形中的动点问题】 15 一、知识梳理 要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 要点三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 二、题型精讲 【题型1 利用等腰三角形的性质求角】 例1.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况． 【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图， 高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°， ②当为钝角三角形时可画图， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°， ∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°． 故选：D． 【变式1】如图，与关于对称，，在上取一点，使得．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，由轴对称性质得， 设，得出，再由等腰三角形的性质得．再由直角三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：与关于对称， ， 设． ， 在中，， ． 又， ， ， 故选：A 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长】 例2.一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？ 【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析． 【解答】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、7， 能组成三角形，周长＝4+4+7＝15； ②4是底边长时，三角形的三边分别为4、7、7， 能组成三角形，周长＝4+7+7＝18． 综上所述，这个等腰三角形的周长是15或18． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 【变式2】已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm 【分析】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为xcm，分两种情况讨论：xx＝9或xx＝15． 【解答】解：设三角形的腰为xcm，如图： △ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线， 则有AB+AD＝9 ... ...
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