7.3.1 三角函数的周期性 教案

第7章 三角函数 7.3 三角函数的图象和性质 7.3.1 三角函数的周期性 ▍教学目标 通过从生活中周而复始的现象出发，从特殊到一般，抽象概括出周期函数形式化定义． 选取正例与反例，运用逻辑推理，加深对周期函数和最小正周期的本质认识而促进概念的学习． 体会从特殊函数到一般函数、从正弦函数周期再到求一般周期函数的周期上，从特殊到一般的研究策略． 数学抽象：用数学语言表示函数周期性． 逻辑推理：加深对周期函数和最小正周期的本质认识． 直观想象：利用函数图象来研究函数性质． ▍情境设置 【问题1】 这是一张课程表，一个学期150多天，为什么只列出了7天的课程？下周一的这个时候呢，下下周一呢？ 某某中学2020--2021学年第一学期高一（8）班课程表时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日上 午1生物语文政治数学体育休息休息2政治数学英语数学数学3物理数学英语政治语文4语文政治数学英语语文下 午5数学英语物理生物物理6数学英语体育语文政治7英语物理生物体锻生物8自习生物语文物理英语 [学生活动] 每周的课程都是一样的，重复出现，所以只列出了七天的课程．下周一这个时候是数学课，下下周一的这个时候还是数学课． [教师引导] 生活中存在周而复始的现象，数学源于生活，这体现了应用数学解决现实问题． 【问题2】 现实生活中还有哪些周而复始的现象？ [学生活动] 举例：一年四季交替变化，日出日落，寒来暑往等． 举例：每日作息规律，匀速圆周运动，天体运行，摩天轮等． ▍概念的建构与探究 【问题3】 如何用数学的方法来刻画现实世界中周而复始的现象？以摩天轮为例． [教师引导] 已知摩天轮做逆时针匀速转动，每分钟转一圈．随着时间的变化，摩天轮上点到地面的距离发生变化，对于特定的时间，点到地面的距离是唯一确定的，你打算用哪个数学概念刻画？ [学生活动] 我们需要构造一个函数来刻画． [教师引导] 哪个量是自变量？哪个量是因变量？ [学生活动] 在任何一个确定的时刻，点与地面的距离是唯一确定的，因此距离是关于的函数． [教师引导] 每转一圈后，摩天轮又回到原来的位置，如何用函数关系来刻画这一周而复始的现象？ [学生活动] 自变量的值每增加，距离会重复出现，便有． 【问题4】 我们再看数学中的例子，以循环小数为例，谁能同样构造函数来刻画这个循环小数周而复始的现象？ [教师引导] 这里是否存在两个量，一个量引起另一个量的变化？ ，这里的分位是，百分位是，千分位是，万分位是，小数点后面第位是？小数点后面第位是？ 在这一过程中，你找到了那两个变量了吗？ [学生活动] 小数点后的第位的数字作为这个函数的函数值，记作． [教师引导] 你能否写出这个函数的解析式？ [学生活动] 可写成分段函数的形式，． [教师引导] 如何用函数的关系式来刻画循环小数，出现周而复始的现象？ [学生活动] ，循环小数的循环节的长度为，自变量每增加，函数值会重复出现． 【问题5】 摩天轮上点到地面的距离呈现周而复始的现象，这给我们似曾相识的感觉，当初我们定义正弦函数就是类似这个背景，正弦函数是如何定义的？选用哪条有向线段表示正弦线？ [学生活动] 正弦函数是以角为变量，角的终边与单位圆的交点纵坐标为函数值的函数，选用有向线段表示正弦线． [教师引导] 逆时针方向转动一圈，正弦函数值重复出现，如何用数学表达式刻画这一规律？ [学生活动] 即自变量增加，正弦函数值会重复出现，即正弦线的长度和符号均没有发生变化，用式子来描述，，，这也是正弦函数的诱导公式，可以抽象成一般函数的形式：． [教师引导] 角继续逆时针方向转动或顺时针方向转动，正弦函数值重复出现，如何用数学关系式刻画这一规律？ [学生活动] 当自变量的值每增加整数倍时，正弦值会重复出现，即可 ... ...