黑龙江省龙东地区多校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷（含解析）

黑龙江省龙东地区多校2024-2025学年高三上学期期末联考 数学试卷 注意事项： 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置。 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。 一、单项选择题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1．已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2．已知复数（i为虚数单位），则( ) A. B. C. D. 3．已知双曲线的两个焦点分别为,点在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( ) A.4 B.3 C.2 D. 4．若一个圆台如图所示,则其侧面积等于( ) A.6 B.6π C. D. 5．设函数在区间上单调递减，则a的最大值是( ) A. B. C. D.3 6．一种质量为的物质,在化学分解中,经过时间t（单位：）后,所剩的质量m（单位：）与时间t的函数关系为（a,k均为参数,且）.已知的该物质,在化学分解中,经过后,所剩的质量为,再经过后,所剩的质量为,则( ) A. B. C. D. 7．已知函数的定义域为R，且，都是奇函数，当时，，则( ) A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 8．已知锐角,满足,,则的最小值为( ) A.2 B.3 C.5 D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分。） 9．下列结论正确的是( ) A.若随机变量，则 B.若随机变量，则 C.若随机变量，且，则 D.若随机变量，且，则 10．如图,在棱长为2的正方体,中,点M,N,E,F分别是梭,,,的中点,则下列说法正确的是( ) A.若正方体的各顶点都在同一球面上,则该球的体积为 B.异面直线与所成角的余弦值为 C.平面和平面分正方体成三部分的体积由小到大的比值为1:8:16 D.平面和平面之间的距离为 11．李老师用3D打印技术制作了一个北极星金属图标（如图）,该图标的外部轮廓曲线在平面直角坐标系中可以用曲线E表示,已知曲线E上的任意一点M到两个坐标轴距离的算术平方根之和为2.则下列结论正确的是( ) A.点M到x轴的最大距离为2 B.曲线E有4条对称轴 C.曲线E与直线有3个交点 D.点M到坐标原点的最小距离为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知,均为单位向量,且,则与的夹角等于_____. 13．某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人,有日生产件数为55件的“新手”2人,从这5人中任意抽取2人,则2人的日生产件数之和为150件的概率为_____. 14．如图，已知函数（其中，，）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，，，.则函数在上的值域为_____. 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15．（13分）已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且. (1)求A； (2)若,求面积的取值范围. 16．（15分）已知椭圆的长半轴长为2,离心率为. （1）求椭圆C的方程; （2）设点A为椭圆C的左顶点,过原点的直线与椭圆C分别相交于P,Q（点P,Q不在坐标轴上）两点,直线AP,AQ分别交y轴于M,N两点,判断直线PN和QM的交点是否在定直线上,并说明理由. 17．（15分）如图,四棱锥的底面是正方形,平面,.已知E,F分别为的中点,平面与棱交于点G. （1）求证:平面; （2）求平面与平面的夹角的余弦值; （3）判断线段上是否存在一点H,使得点H到平面的距离为 若存在,请求出点H的位置;若不存在,请说明理由. 18．（17分）已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求a的值. (2)已知有三个不同的零点. （i）求a的取值范围； （ii）若，为较大的两个零点，证明：. 19．（17分）已知正项数列满足:对任意的正整数n,都有,其中d为非零常数. （1）若,求数列的通项公式; （2）证明:; （3）若且,从,,,…,（且） ... ...