贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（含答案）

贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考 数学试题 一、单选题 1．已知向量，向量，则（ ） A． B． C． D． 2．若抛物线上有一点，其横坐标为2，则该点到焦点的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．“”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在斜三棱柱中，为棱BC上靠近的三等分点，为的中点，设，则用表示为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰梯形ABCD中，与CD之间的距离为3，O为AB的中点，则等腰梯形ABCD的外接圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 6．在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（ ） A．的周长为8 B．存在点使得 C．满足的点有且只有4个 D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为 7．如图，在四面体ABCD中，，且，点满足，则直线CE与AD所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线和圆，则下列说法正确的有（ ） A．直线过定点 B．直线一定与圆相交 C．直线被圆截得的最短弦长为4 D．圆与圆有3条公切线 10．如图，在底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足,），则下列结论正确的是（ ） A．当时，点到直线AC的距离为 B．当时，直线AP与平面所成角的正弦值是 C．若，则点在平面内 D．若，则点在平面内 11．已知过点的抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过焦点作两条相互垂直的直线分别交于A，B和M，N四点，则下列说法正确的是（ ） A．若直线AB的斜率为1，则 B．若点平分弦AB，则直线AB的方程为 C．的最小值为 D．若，则 三、填空题 12．已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为 . 13．已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ． 14．椭圆上有一动点，左、右焦点分别为和，过作圆的切线，切点分别为A，B两点，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知直线过点且倾斜角为，圆的方程为. (1)求直线的方程； (2)已知直线与直线平行，且与圆相交所得弦长为2，求直线的方程. 16．如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中点. (1)求证：平面ACE； (2)若点为PB的中点，求点到平面ACE的距离. 17．已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 18．如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙. (1)求证：平面平面AECD； (2)若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值. 19．如图，在矩形ABCD中，分别是矩形四条边的中点，点分别是OF，CF的等分点，直线和直线的交点为. (1)若，求点的坐标并证明点在椭圆上； (2)证明：点在同一个椭圆上； (3)若.已知，过点作斜率为的直线交（2）中椭圆于S，T两点，直线分别交直线于P，Q两点，若，求的值. 贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月月考 数学答案 1．D 2．B 3．A 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．ABC 10．BCD 11．ACD 12． 13． 14．/ 15．(1) (2)或 16．（1）如图，连接AC，交BD于O，连接EO. 因底面ABCD是矩形，则， 又因是PD的中点，所以. 又平面，平面， 则平面. （2）因为底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AB、AD、AP两两相互垂直. 以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，E是PD的中点， 所以 ， 则， 设平面ACE的一个法向量为， 那么，所以， 令，则，所以， 于是， 所以点Q到平面ACE的距离为. 17．（1）解：因为双曲线的 ... ...